Cho số phức ${{z}_{1}}$ thỏa mãn ${{\left| z-2...

Gọi $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$. Khi đó ${{\left| z-2 \right|}^{2}}-{{\left| z+i \right|}^{2}}=1$
$\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}-{{x}^{2}}-{{\left( y+1 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow -4x-2y=-2\Leftrightarrow \Delta :2x+y-1=0$.
Gọi $N\left( a;b \right)$ là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$. Khi đó $\left| z-4-i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow {{\left( a-4 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}=5.$
Hay tập hợp điểm N trong mặt phẳng Oxy là đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=5$.

Ta có: $d\left( {{I}_{\left( C \right)}};\left( \Delta \right) \right)=\dfrac{8}{\sqrt{5}}>\sqrt{5}={{R}_{\left( C \right)}}\Rightarrow \left( \Delta \right)$ không cắt đường tròn $\left( C \right)$.
Lại có $MN=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\Rightarrow $ dựa vào hình vẽ ta thấy $M{{N}_{\min }}\Leftrightarrow MN=d\left( {{I}_{\left( C \right)}};\left( \Delta \right) \right)-{{R}_{\left( C \right)}}$.
Hay ${{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}_{\min }}=\sqrt{5}-\dfrac{8\sqrt{5}}{5}=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$. Chọn D.
Bài toán có thể hỏi thêm là tìm số phức ${{z}_{1}}$ hoặc ${{z}_{2}}$ để ${{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}_{\min }}$ thì ta chỉ cần viết phương trình đường thẳng $MN\bot \left( \Delta \right)$ sau đó tìm giao điểm $\left\{ \begin{aligned}
& M=\left( \Delta \right)\cap MN \\
& N=\left( C \right)\cap MN \\
\end{aligned} \right.$.