Google
Câu hỏi: Cho số phức ${{z}_{0}}$ có $\left| {{z}_{0}} \right|=2018.$ Diện tích của đa giác có các đỉnh là các điểm biểu diễn của ${{z}_{0}}$ và các nghiệm của phương trình $\dfrac{1}{z+{{z}_{0}}}=\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{{{z}_{0}}}$ được viết dạng $n\sqrt{3},n\in \mathbb{N}$. Chữ số hàng đơn vị của n là
A. 9.
B. 8.
C. 3.
D. 4.
A. 9.
B. 8.
C. 3.
D. 4.
Điều kiện : $\left\{ \begin{aligned}
& z\ne 0 \\
& {{z}_{0}}\ne 0 \\
\end{aligned} \right.. $ Ta có : $ \dfrac{1}{z+{{z}_{0}}}=\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{{{z}_{0}}}\Leftrightarrow z.{{z}_{0}}=\left( z+{{z}_{0}} \right){{z}_{0}}+\left( z+{{z}_{0}} \right)z$
$\Leftrightarrow {{z}^{2}}+z.{{z}_{0}}+z_{0}^{2}=0\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{z}{{{z}_{0}}} \right)}^{2}}+\dfrac{z}{{{z}_{0}}}+1=0\Leftrightarrow \dfrac{z}{{{z}_{0}}}=-\dfrac{1}{2}\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\Leftrightarrow z=\left( -\dfrac{1}{2}\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}i \right){{z}_{0}}={{z}_{1,2}}$
Ta có : $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\left| -\dfrac{1}{2}\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}i \right|\left| {{z}_{0}} \right|=\left| {{z}_{0}} \right|=2018$ và ${{z}_{0}}+{{z}_{1}}+{{z}_{2}}=0.$
Do đó ${{z}_{0}},{{z}_{1}},{{z}_{2}}$ được biểu diễn bởi ba điểm ${{M}_{0}},{{M}_{1}},{{M}_{2}}$ tạo thành một tam giác đều nằm trên đường tròn tâm O bán kính R = 2018. Tam giác đều này có chiều cao : $h=\dfrac{3}{2}R$ và độ dài cạnh $a=\dfrac{2}{\sqrt{3}}.h=\dfrac{2}{\sqrt{3}}.\dfrac{3}{2}R=\sqrt{3}.R$. Diện tích tam giác : $S=\dfrac{1}{2}a.h=\dfrac{3{{\text{R}}^{2}}}{4}.\sqrt{3}=\dfrac{{{3.2018}^{2}}}{4}.\sqrt{3}=3054243.\sqrt{3}.$ Vậy n=3054243 có chữ số hàng đơn vị là 3.
& z\ne 0 \\
& {{z}_{0}}\ne 0 \\
\end{aligned} \right.. $ Ta có : $ \dfrac{1}{z+{{z}_{0}}}=\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{{{z}_{0}}}\Leftrightarrow z.{{z}_{0}}=\left( z+{{z}_{0}} \right){{z}_{0}}+\left( z+{{z}_{0}} \right)z$
$\Leftrightarrow {{z}^{2}}+z.{{z}_{0}}+z_{0}^{2}=0\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{z}{{{z}_{0}}} \right)}^{2}}+\dfrac{z}{{{z}_{0}}}+1=0\Leftrightarrow \dfrac{z}{{{z}_{0}}}=-\dfrac{1}{2}\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\Leftrightarrow z=\left( -\dfrac{1}{2}\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}i \right){{z}_{0}}={{z}_{1,2}}$
Ta có : $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\left| -\dfrac{1}{2}\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}i \right|\left| {{z}_{0}} \right|=\left| {{z}_{0}} \right|=2018$ và ${{z}_{0}}+{{z}_{1}}+{{z}_{2}}=0.$
Do đó ${{z}_{0}},{{z}_{1}},{{z}_{2}}$ được biểu diễn bởi ba điểm ${{M}_{0}},{{M}_{1}},{{M}_{2}}$ tạo thành một tam giác đều nằm trên đường tròn tâm O bán kính R = 2018. Tam giác đều này có chiều cao : $h=\dfrac{3}{2}R$ và độ dài cạnh $a=\dfrac{2}{\sqrt{3}}.h=\dfrac{2}{\sqrt{3}}.\dfrac{3}{2}R=\sqrt{3}.R$. Diện tích tam giác : $S=\dfrac{1}{2}a.h=\dfrac{3{{\text{R}}^{2}}}{4}.\sqrt{3}=\dfrac{{{3.2018}^{2}}}{4}.\sqrt{3}=3054243.\sqrt{3}.$ Vậy n=3054243 có chữ số hàng đơn vị là 3.
Đáp án C.