Cho số phức $w$ và hai số thực $a,b$. Biết rằng $w+i$ và $2w-1$ là...

Đặt $w=x+yi$ $\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$. Vì $a,b\in \mathbb{R}$ và phương trình ${{z}^{2}}+az+b=0$ có hai nghiệm là ${{z}_{1}}=w+i$, ${{z}_{2}}=2w-1$ ( ${{z}_{2}}$ là số phức) nên ${{z}_{1}}; {{z}_{2}}$ là 2 số phức liên hợp
Ta có: ${{z}_{1}}=\overline{{{z}_{2}}}\Leftrightarrow w+i=\overline{2w-1}\Leftrightarrow x+yi+i=\overline{2\left( x+yi \right)-1}$
$\Leftrightarrow x+\left( y+1 \right)i=\left( 2x-1 \right)-2yi\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2x-1 \\
& y+1=-2y \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=-\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow w=1-\dfrac{1}{3}i\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=w+i=1+\dfrac{2}{3}i \\
& {{z}_{2}}=2w-1=1-\dfrac{2}{3}i \\
\end{aligned} \right.$.
Theo định lý Viet:$\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-a \\
& {{z}_{2}}.{{z}_{2}}=b \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2=-a \\
& 1+\dfrac{4}{9}=b \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-2 \\
& b=\dfrac{13}{9} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $S=a+b=-\dfrac{5}{9}$.