Google
Câu hỏi: Cho số phức $w=\left( 1+i \right)z+2$ với $\left| 1+iz \right|=\left| z-2i \right|$. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức $\text{w}$ là đường thẳng $\Delta $. Khoảng cách từ điểm $A(1;-2)$ đến $\Delta $ bằng
A. $0$
B. $2\sqrt{2}$.
C. $2$.
D. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
$\left| 1+i\dfrac{\text{w}-2}{1+i} \right|=\left| \dfrac{\text{w}-2}{1+i}-2i \right|\Leftrightarrow \left| \dfrac{i\left( \text{w}-2 \right)+1+i}{1+i} \right|=\left| \dfrac{\text{w}-2-2i-2{{i}^{2}}}{1+i} \right|\Leftrightarrow \left| i\left( \text{w}-2 \right)+1+i \right|=\left| \text{w}-2i \right|$
$\Leftrightarrow \left| i\left( \text{w}-2+\dfrac{1+i}{i} \right) \right|=\left| \text{w}-2i \right|\Leftrightarrow \left| \text{w}-2+1-i \right|=\left| \text{w}-2i \right|\Leftrightarrow \left| \text{w}-1-i \right|=\left| \text{w}-2i \right|\left( \text{1} \right)$
Gọi $w=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$, từ $\left( 1 \right)$ ta có $\left| x+yi-1-i \right|=\left| x+yi-2i \right|$.
$\Leftrightarrow \left| \left( x-1 \right)+\left( y-1 \right)i \right|=\left| x+\left( y-2 \right)i \right|$ $\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow x-y+1=0$.
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w trên mặt phẳng phức là đường thẳng $\Delta :x-y+1=0.$
Khi đó $\text{d}\left( A,\Delta \right)=\dfrac{\left| 1-\left( -2 \right)+1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}=2\sqrt{2}.$
A. $0$
B. $2\sqrt{2}$.
C. $2$.
D. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Ta có $w=\left( 1+i \right)z+2\Leftrightarrow z=\dfrac{\text{w}-2}{1+i}$, thay vào $\left| 1+iz \right|=\left| z-2i \right|$ ta được:$\left| 1+i\dfrac{\text{w}-2}{1+i} \right|=\left| \dfrac{\text{w}-2}{1+i}-2i \right|\Leftrightarrow \left| \dfrac{i\left( \text{w}-2 \right)+1+i}{1+i} \right|=\left| \dfrac{\text{w}-2-2i-2{{i}^{2}}}{1+i} \right|\Leftrightarrow \left| i\left( \text{w}-2 \right)+1+i \right|=\left| \text{w}-2i \right|$
$\Leftrightarrow \left| i\left( \text{w}-2+\dfrac{1+i}{i} \right) \right|=\left| \text{w}-2i \right|\Leftrightarrow \left| \text{w}-2+1-i \right|=\left| \text{w}-2i \right|\Leftrightarrow \left| \text{w}-1-i \right|=\left| \text{w}-2i \right|\left( \text{1} \right)$
Gọi $w=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$, từ $\left( 1 \right)$ ta có $\left| x+yi-1-i \right|=\left| x+yi-2i \right|$.
$\Leftrightarrow \left| \left( x-1 \right)+\left( y-1 \right)i \right|=\left| x+\left( y-2 \right)i \right|$ $\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow x-y+1=0$.
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w trên mặt phẳng phức là đường thẳng $\Delta :x-y+1=0.$
Khi đó $\text{d}\left( A,\Delta \right)=\dfrac{\left| 1-\left( -2 \right)+1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}=2\sqrt{2}.$
Đáp án B.