Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{2}^{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x+m}}-{{2}^{{{x}^{2}}+x}}+{{x}^{3}}-3x+m=0$. Tập các giá trị $m$ để phương trình có 3 nghiệm phân biệt có dạng $\left( a;b \right)$. Tổng $\left( a+2b \right)$ bằng:
A. 1.
B. 0.
C. $-2$.
D. 2.
A. 1.
B. 0.
C. $-2$.
D. 2.
${{2}^{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x+m}}-{{2}^{{{x}^{2}}+x}}+{{x}^{3}}-3x+m=0\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x+m}}+\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x+m \right)={{2}^{{{x}^{2}}+x}}+\left( {{x}^{2}}+x \right)$ (1)
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}+t$ với $t\in \mathbb{R}$
Do ${f}'\left( t \right)={{2}^{t}}.\ln 2+1>0$ $\forall t\in \mathbb{R}$ nên hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
Phương trình (1) có dạng $f\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x+m \right)=f\left( {{x}^{2}}+x \right)$
Suy ra ${{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x+m={{x}^{2}}+x\Leftrightarrow m=-{{x}^{3}}+3x$ (2)
Bài toán trở thành tìm tập các giá trị m để phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt.
Ta có BBT của hàm số $g\left( x \right)=-{{x}^{3}}+3x$
Yêu cầu bài toán $\Rightarrow m\in \left( -2;2 \right)$ hay $a=-2;b=2$
Vậy $a+2b=2$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}+t$ với $t\in \mathbb{R}$
Do ${f}'\left( t \right)={{2}^{t}}.\ln 2+1>0$ $\forall t\in \mathbb{R}$ nên hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
Phương trình (1) có dạng $f\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x+m \right)=f\left( {{x}^{2}}+x \right)$
Suy ra ${{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x+m={{x}^{2}}+x\Leftrightarrow m=-{{x}^{3}}+3x$ (2)
Bài toán trở thành tìm tập các giá trị m để phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt.
Ta có BBT của hàm số $g\left( x \right)=-{{x}^{3}}+3x$
Yêu cầu bài toán $\Rightarrow m\in \left( -2;2 \right)$ hay $a=-2;b=2$
Vậy $a+2b=2$
Đáp án D.