Cho phương trình...

${{9}^{x}}+\dfrac{1}{6}(7{{x}^{2}}-14x-2{{m}^{2}}+4m-5){{3}^{x+1}}-\dfrac{1}{2}(7{{x}^{2}}-14x-1)+{{(m-1)}^{2}}=0$
$\Leftrightarrow {{9}^{x}}+\left[ \dfrac{1}{2}(7{{x}^{2}}-14x-1)-{{(m-1)}^{2}}-1 \right]{{3}^{x}}-\dfrac{1}{2}(7{{x}^{2}}-14x-1)+{{(m-1)}^{2}}=0$
$\Leftrightarrow \left( {{3}^{x}}-1 \right)\left[ {{3}^{x}}+\dfrac{1}{2}(7{{x}^{2}}-14x-1)-{{(m-1)}^{2}} \right]=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{3}^{x}}=1\Leftrightarrow x=0 (KTM) \\
& {{3}^{x}}+\dfrac{1}{2}(7{{x}^{2}}-14x-1)={{(m-1)}^{2}} (*) \\
\end{aligned} \right.$
Để phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm dương phân biệt.
Xét $f(x)={{3}^{x}}+\dfrac{1}{2}(7{{x}^{2}}-14x-1)$, $x>0$. Ta có: ${f}'(x)={{3}^{x}}.\ln 3+7x-7$.
${f}'(x)=0\Leftrightarrow {{3}^{x}}.\ln 3+7x-7=0\Leftrightarrow {{3}^{x}}.\ln 3=7-7x$.
Vì vế trái là hàm đồng biến và vế phải là hàm nghịch biến nên phương trình ${f}'(x)=0$ có nghiệm duy nhất $x={{x}_{0}}\approx 0,67$ và $f({{x}_{0}})\approx -1,53$.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt khi
$f({{x}_{0}})<{{(m-1)}^{2}}<\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow {{(m-1)}^{2}}<\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \dfrac{2-\sqrt{2}}{4}<m<\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}$
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m=1$.