Cho phương trình...

$9^x+{\displaystyle \frac{1}{6}}(7x^2-14x-2m^2+4m-5)3^{x+1}-{\displaystyle \frac{1}{2}}(7x^2-14x-1)+{(m-1)}^2=0$
$\iff 9^x+[{\displaystyle \frac{1}{2}}(7x^2-14x-1)-{(m-1)}^2-1]3^x-{\displaystyle \frac{1}{2}}(7x^2-14x-1)+{(m-1)}^2=0$
$\iff (3^x-1)[3^x+{\displaystyle \frac{1}{2}}(7x^2-14x-1)-{(m-1)}^2]=0$
$\iff [\begin{array}{rl}& 3^x=1\iff x=0(KTM)\\ & 3^x+{\displaystyle \frac{1}{2}}(7x^2-14x-1)={(m-1)}^2(\ast )\end{array}$
Để phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm dương phân biệt.
Xét $f(x)=3^x+{\displaystyle \frac{1}{2}}(7x^2-14x-1)$, $x>0$. Ta có: $f^{\prime }(x)=3^x.\ln 3+7x-7$.
$f^{\prime }(x)=0\iff 3^x.\ln 3+7x-7=0\iff 3^x.\ln 3=7-7x$.
Vì vế trái là hàm đồng biến và vế phải là hàm nghịch biến nên phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có nghiệm duy nhất $x=x_0\approx 0,67$ và $f(x_0)\approx -1,53$.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt khi
$f(x_0)<{(m-1)}^2<{\displaystyle \frac{1}{2}}\iff {(m-1)}^2<{\displaystyle \frac{1}{2}}\iff {\displaystyle \frac{2-\sqrt{2}}{4}}<m<{\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}}{4}}$
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m=1$.