Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{z}^{3}}-\left( m+1 \right){{z}^{2}}+\left( m+1+mi \right)z-1-mi=0$ trong đó $z\in \mathbb{C}$, $m$ là tham số thực. Số giá trị của tham số $m$ để phương trình có 3 nghiệm phức phân biệt sao cho các điểm biểu diễn của các nghiệm trên mặt phẳng phức tạo thành một tam giác cân là
A. 0.
B. 1.
C. 3.
D. 2.
A. 0.
B. 1.
C. 3.
D. 2.
Xét phương trình:
${{z}^{3}}-\left( m+1 \right){{z}^{2}}+\left( m+1+mi \right)z-1-mi=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& z=1 \\
& {{z}^{2}}-mz+1+mi=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& z=1 \\
& {{z}^{2}}-{{i}^{2}}-\left( mz-mi \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& z=1 \\
& \left( z-i \right)\left( z+i-m \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& z=1 \\
& z=i \\
& z=m-i \\
\end{aligned} \right.$.
Đặt $A\left( 1; 0 \right)$, $B\left( 0;1 \right)$, $C\left( m;-1 \right)$ lần lượt là các điểm biểu diễn các nghiệm $z=1$, $z=i$, $z=m-i$ trên mặt phẳng phức.
Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( -1;1 \right)$, $\overrightarrow{AC}=\left( m-1;-1 \right)$, $\overrightarrow{BC}=\left( m;-2 \right)$
$AB=\sqrt{2}$, $BC=\sqrt{{{m}^{2}}+4}$, $AC=\sqrt{{{\left( m-1 \right)}^{2}}+1}$.
Ba điểm $A$, $B$, $C$ tạo thành một tam giác khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương hay $m\ne 2$.
Tam giác $ABC$ cân $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& AC=AB \\
& BC=AB \\
& AC=BC \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \sqrt{{{\left( m-1 \right)}^{2}}+1}=\sqrt{2} \\
& \sqrt{{{m}^{2}}+4}=\sqrt{2} \\
& \sqrt{{{\left( m-1 \right)}^{2}}+1}=\sqrt{{{m}^{2}}+4} \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-2m=0 \\
& -2m=2 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=2 \\
& m=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Kết hợp với điều kiện $m\ne 2$ ta được $m\in \left\{ 0;-1 \right\}$.
Vậy có hai giá trị của $m$ thỏa mãn đề.
${{z}^{3}}-\left( m+1 \right){{z}^{2}}+\left( m+1+mi \right)z-1-mi=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& z=1 \\
& {{z}^{2}}-mz+1+mi=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& z=1 \\
& {{z}^{2}}-{{i}^{2}}-\left( mz-mi \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& z=1 \\
& \left( z-i \right)\left( z+i-m \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& z=1 \\
& z=i \\
& z=m-i \\
\end{aligned} \right.$.
Đặt $A\left( 1; 0 \right)$, $B\left( 0;1 \right)$, $C\left( m;-1 \right)$ lần lượt là các điểm biểu diễn các nghiệm $z=1$, $z=i$, $z=m-i$ trên mặt phẳng phức.
Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( -1;1 \right)$, $\overrightarrow{AC}=\left( m-1;-1 \right)$, $\overrightarrow{BC}=\left( m;-2 \right)$
$AB=\sqrt{2}$, $BC=\sqrt{{{m}^{2}}+4}$, $AC=\sqrt{{{\left( m-1 \right)}^{2}}+1}$.
Ba điểm $A$, $B$, $C$ tạo thành một tam giác khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương hay $m\ne 2$.
Tam giác $ABC$ cân $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& AC=AB \\
& BC=AB \\
& AC=BC \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \sqrt{{{\left( m-1 \right)}^{2}}+1}=\sqrt{2} \\
& \sqrt{{{m}^{2}}+4}=\sqrt{2} \\
& \sqrt{{{\left( m-1 \right)}^{2}}+1}=\sqrt{{{m}^{2}}+4} \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-2m=0 \\
& -2m=2 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=2 \\
& m=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Kết hợp với điều kiện $m\ne 2$ ta được $m\in \left\{ 0;-1 \right\}$.
Vậy có hai giá trị của $m$ thỏa mãn đề.
Đáp án D.