Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{z}^{2}}-mz+1=0$ (với $m$ là tham số thực) có hai nghiệm ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$. Gọi $A,B,C$ lần lượt là các điểm trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ biểu diễn cho các số phức ${{z}_{0}}=i;{{z}_{1}};{{z}_{2}}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để diện tích tam giác $ABC$ bằng $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ ?
A. $4$.
B. $6$.
C. $2$.
D. $3$
A. $4$.
B. $6$.
C. $2$.
D. $3$
Ta có: $\Delta ={{m}^{2}}-4$.
TH1: $\Delta >0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m<-2 \\
& m>2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt $ {{z}_{1}}=a,{{z}_{2}}=b$.
Khi đó: $A\left( 0;1 \right),B\left( b;0 \right),C\left( c;0 \right)$.
${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}d\left( A,\left( BC \right) \right).BC=\dfrac{1}{2}.1.\left| b-c \right|=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow {{\left( b-c \right)}^{2}}=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow {{\left( b+c \right)}^{2}}-4bc=\dfrac{3}{4}$.
Theo Vi-et ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& b+c=m \\
& bc=1 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow {{m}^{2}}-4=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow m=\pm \dfrac{\sqrt{19}}{2}$.
TH2: $\Delta <0\Leftrightarrow -2<m<2\Rightarrow $ Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt $\left\{ \begin{matrix}
{{z}_{1}}=\dfrac{m+i\sqrt{4-{{m}^{2}}}}{2} \\
{{z}_{2}}=\dfrac{m-i\sqrt{4-{{m}^{2}}}}{2} \\
\end{matrix} \right.$.
$\Rightarrow A\left( 0;1 \right),B\left( \dfrac{m}{2};\dfrac{\sqrt{4-{{m}^{2}}}}{2} \right),C\left( \dfrac{m}{2};-\dfrac{\sqrt{4-{{m}^{2}}}}{2} \right)$.
+) $\left( BC \right):x=\dfrac{m}{2}\Leftrightarrow 2x-m=0$, $BC=\sqrt{4-{{m}^{2}}}$.
+)${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}d\left( A,\left( BC \right) \right).BC=\dfrac{1}{2}.\dfrac{\left| m \right|}{2}.\sqrt{4-{{m}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow {{m}^{4}}-4{{m}^{2}}+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
{{m}^{2}}=1 \\
{{m}^{2}}=3 \\
\end{matrix} \right.$.
Do $m$ nguyên, nên có 2 giá trị $m=\pm 1$ thỏa mãn.
TH1: $\Delta >0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m<-2 \\
& m>2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt $ {{z}_{1}}=a,{{z}_{2}}=b$.
Khi đó: $A\left( 0;1 \right),B\left( b;0 \right),C\left( c;0 \right)$.
${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}d\left( A,\left( BC \right) \right).BC=\dfrac{1}{2}.1.\left| b-c \right|=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow {{\left( b-c \right)}^{2}}=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow {{\left( b+c \right)}^{2}}-4bc=\dfrac{3}{4}$.
Theo Vi-et ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& b+c=m \\
& bc=1 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow {{m}^{2}}-4=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow m=\pm \dfrac{\sqrt{19}}{2}$.
TH2: $\Delta <0\Leftrightarrow -2<m<2\Rightarrow $ Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt $\left\{ \begin{matrix}
{{z}_{1}}=\dfrac{m+i\sqrt{4-{{m}^{2}}}}{2} \\
{{z}_{2}}=\dfrac{m-i\sqrt{4-{{m}^{2}}}}{2} \\
\end{matrix} \right.$.
$\Rightarrow A\left( 0;1 \right),B\left( \dfrac{m}{2};\dfrac{\sqrt{4-{{m}^{2}}}}{2} \right),C\left( \dfrac{m}{2};-\dfrac{\sqrt{4-{{m}^{2}}}}{2} \right)$.
+) $\left( BC \right):x=\dfrac{m}{2}\Leftrightarrow 2x-m=0$, $BC=\sqrt{4-{{m}^{2}}}$.
+)${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}d\left( A,\left( BC \right) \right).BC=\dfrac{1}{2}.\dfrac{\left| m \right|}{2}.\sqrt{4-{{m}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow {{m}^{4}}-4{{m}^{2}}+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
{{m}^{2}}=1 \\
{{m}^{2}}=3 \\
\end{matrix} \right.$.
Do $m$ nguyên, nên có 2 giá trị $m=\pm 1$ thỏa mãn.
Đáp án C.