Cho phương trình ${{z}^{2}}+az+b=0 \left( a,b\in \mathbb{R}...

Gọi $w=x+yi,\left( x,y\in \mathbb{R} \right).$
Theo giả thiết ta có $\left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=w+4i=x+\left( y+4 \right)i \\
& {{z}_{2}}=2w+2-i=2x+2+\left( 2y-1 \right)i \\
\end{aligned} \right. $ với $ {{z}_{1}},{{z}_{2}}$ lần lượt là hai nghiệm phức của phương trình đã cho.
Vì ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai nghiệm phức nên
${{z}_{1}}=\overline{{{z}_{2}}}\Leftrightarrow x+\left( y+4 \right)i=\left( 2x+2 \right)-\left( 2y-1 \right)i\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2x+2 \\
& y+4=-2y+1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& y=-1 \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó ${{z}^{2}}+az+b=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=-2+3i \\
& {{z}_{2}}=-2-3i \\
\end{aligned} \right..$
Áp dụng định lí Vi-et ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-a \\
& {{z}_{1}}{{z}_{2}}=b \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=4 \\
& b=13 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a+b=17.$