Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{z}^{2}}-4\left( m+1 \right)z+4{{m}^{2}}+2=0$ ( $m$ là tham số thực). Gọi $S$ là tổng tất cả các giá trị của $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phức phân biệt ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}=2028$. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. $S\in \left( 2;3 \right)$.
B. $S\in \left( 1;2 \right)$.
C. $S\in \left( -2;-1 \right)$.
D. $S\in \left( -1;0 \right)$.
A. $S\in \left( 2;3 \right)$.
B. $S\in \left( 1;2 \right)$.
C. $S\in \left( -2;-1 \right)$.
D. $S\in \left( -1;0 \right)$.
Ta có ${\Delta }'={{\left[ -2\left( m+1 \right) \right]}^{2}}-\left( 4{{m}^{2}}+2 \right)=8m+2$.
Phương trình luôn có 2 nghiệm ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn: $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=4m+4 \\
& {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=4{{m}^{2}}+2 \\
\end{aligned} \right.\left( * \right)$
TH1: Nếu ${\Delta }'>0\Leftrightarrow m>-\dfrac{1}{4}$ thì phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt nên
${{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}=2028\Leftrightarrow {{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}-2\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=2028\left( 1 \right)$
Thay $\left( * \right)$ vào $\left( 1 \right)$, ta có: ${{\left| 4m+4 \right|}^{2}}-2\left| 4{{m}^{2}}+2 \right|=2028\Leftrightarrow 8{{m}^{2}}+32m-2016=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=14 \\
& m=-18 \\
\end{aligned} \right.$.
Kết hợp $m>-\dfrac{1}{4}$ ta được $m=14$.
TH2: Nếu ${\Delta }'<0\Leftrightarrow m<-\dfrac{1}{4}$ thì phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt nên
${{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}=2028\Leftrightarrow 2{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}=2028$ $\Leftrightarrow {{z}_{1}}{{\bar{z}}_{1}}=1014\Leftrightarrow {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=1014\left( 2 \right)$
Thay $\left( * \right)$ vào $\left( 2 \right)$, ta có: $4{{m}^{2}}+2=1014\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=\sqrt{253} \\
& m=-\sqrt{253} \\
\end{aligned} \right.$.
Kết hợp $m<-\dfrac{1}{4}$ ta được $m=-\sqrt{253}$.
Vậy $S=14-\sqrt{253}\approx -1,905\in \left( -2;-1 \right)$.
Phương trình luôn có 2 nghiệm ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn: $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=4m+4 \\
& {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=4{{m}^{2}}+2 \\
\end{aligned} \right.\left( * \right)$
TH1: Nếu ${\Delta }'>0\Leftrightarrow m>-\dfrac{1}{4}$ thì phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt nên
${{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}=2028\Leftrightarrow {{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}-2\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=2028\left( 1 \right)$
Thay $\left( * \right)$ vào $\left( 1 \right)$, ta có: ${{\left| 4m+4 \right|}^{2}}-2\left| 4{{m}^{2}}+2 \right|=2028\Leftrightarrow 8{{m}^{2}}+32m-2016=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=14 \\
& m=-18 \\
\end{aligned} \right.$.
Kết hợp $m>-\dfrac{1}{4}$ ta được $m=14$.
TH2: Nếu ${\Delta }'<0\Leftrightarrow m<-\dfrac{1}{4}$ thì phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt nên
${{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}=2028\Leftrightarrow 2{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}=2028$ $\Leftrightarrow {{z}_{1}}{{\bar{z}}_{1}}=1014\Leftrightarrow {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=1014\left( 2 \right)$
Thay $\left( * \right)$ vào $\left( 2 \right)$, ta có: $4{{m}^{2}}+2=1014\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=\sqrt{253} \\
& m=-\sqrt{253} \\
\end{aligned} \right.$.
Kết hợp $m<-\dfrac{1}{4}$ ta được $m=-\sqrt{253}$.
Vậy $S=14-\sqrt{253}\approx -1,905\in \left( -2;-1 \right)$.
Đáp án C.