Cho phương trình $\sin x\left( 2-\text{cos2}x \right)-2\left(...

Ta có: $\sin x\left( 2-\text{cos2}x \right)-2\left( 2\text{co}{{\text{s}}^{3}}x+m+1 \right)\sqrt{2\text{co}{{\text{s}}^{3}}x+m+2}=3\sqrt{2\text{co}{{\text{s}}^{3}}x+m+2}$
$\Leftrightarrow 2{{\sin }^{3}}x+\sin x=2\left( 2\text{co}{{\text{s}}^{3}}x+m+2 \right)\sqrt{2\text{co}{{\text{s}}^{3}}x+m+2}+\sqrt{2\text{co}{{\text{s}}^{3}}x+m+2}$. (2)
Xét hàm số $f\left( t \right)=2{{t}^{3}}+t$, với $t\ge 0$. Ta có: $f'\left( t \right)=6{{t}^{2}}+1>0,\forall t$ suy ra hàm số $f\left( t \right)$ luôn đồng biến. Mà
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( \sin x \right)=f\left( \sqrt{2\text{co}{{\text{s}}^{3}}x+m+2} \right)\Rightarrow \sin x=\sqrt{2\text{co}{{\text{s}}^{3}}x+m+2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \sin x\ge 0 \\
& {{\sin }^{2}}x=2\text{co}{{\text{s}}^{3}}x+m+2 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow 1-\text{co}{{\text{s}}^{2}}x=2\text{co}{{\text{s}}^{3}}x+m+2$ (vì $\sin x\ge 0,\forall x\in \left[ 0;\dfrac{2\pi }{3} \right)$ ) $\Leftrightarrow -2\text{co}{{\text{s}}^{3}}x-\text{co}{{\text{s}}^{2}}x-1=m$.
Đặt $v=\text{cos} x$, vì $x\in \left[ 0;\dfrac{2\pi }{3} \right)\Rightarrow v=\text{cos} x\in \left( -\dfrac{1}{2};1 \right]$. Xét hàm số $g\left( v \right)=-2{{v}^{3}}-{{v}^{2}}-1$ với $v\in \left( -\dfrac{1}{2};1 \right]$. Có $g'\left( v \right)=-6{{v}^{2}}-2v$.Cho $g'\left( v \right)=0\Leftrightarrow -6{{v}^{2}}-2v=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& v=0 \\
& v=-\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có đúng 1 nghiệm trên $\left[ 0;\dfrac{2\pi }{3} \right)$ khi $\left[ \begin{aligned}
& m=-1 \\
& -4\le m<-\dfrac{28}{27} \\
\end{aligned} \right.$
Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -4,-3,-2,-1 \right\}$. Vậy tổng tất cả giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa yêu cầu đề bài là: $-4-3-2-1=-10$.