Google
Câu hỏi: Cho phương trình $m{{x}^{2018}}\left( {{x}^{2019}}-1 \right)+{{x}^{2}}+1=0$. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in \left[ -100;100 \right]$ để phương trình trên có nghiệm thực?
A. 200
B. 201
C. 100
D. 99
A. 200
B. 201
C. 100
D. 99
Nếu $m=0$ phương trình có dạng ${{x}^{2}}+1=0$ (vô nghiệm)
Nếu $m\ne 0$ thì vế trái của phương trình là đa thức bậc lẻ, vế phải bằng 0. Nên phương trình luôn có nghiệm. Thật vậy:
Đặt $f\left( x \right)=m{{x}^{2018}}\left( {{x}^{2019}}-1 \right)+{{x}^{2}}+1$ khi đó $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right).\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)<0$ và $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$
Nên suy ra đồ thị $y=f\left( x \right)$ luôn cắt trục Ox , hay phương trình $f\left( x \right)=0$ luôn có nghiệm
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& m\in \left[ -100;100 \right]\backslash \left\{ 0 \right\} \\
& m\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.$ có 200 số m thỏa mãn
Chú ý: Nếu $y=f\left( x \right)$ là một đa thức bậc lẻ thì phương trình $f\left( x \right)=0$ luôn có nghiệm.
Nếu $m\ne 0$ thì vế trái của phương trình là đa thức bậc lẻ, vế phải bằng 0. Nên phương trình luôn có nghiệm. Thật vậy:
Đặt $f\left( x \right)=m{{x}^{2018}}\left( {{x}^{2019}}-1 \right)+{{x}^{2}}+1$ khi đó $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right).\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)<0$ và $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$
Nên suy ra đồ thị $y=f\left( x \right)$ luôn cắt trục Ox , hay phương trình $f\left( x \right)=0$ luôn có nghiệm
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& m\in \left[ -100;100 \right]\backslash \left\{ 0 \right\} \\
& m\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.$ có 200 số m thỏa mãn
Chú ý: Nếu $y=f\left( x \right)$ là một đa thức bậc lẻ thì phương trình $f\left( x \right)=0$ luôn có nghiệm.
Đáp án A.