Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{\log }_{3}}\dfrac{2{{x}^{2}}-x+m}{{{x}^{2}}+1}={{x}^{2}}+x+4-m$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -2022;2022 \right]$ để phương trình có hai nghiệm trái dấu?
A. $2022$.
B. $2021$.
C. $2016$.
D. $2019$.
A. $2022$.
B. $2021$.
C. $2016$.
D. $2019$.
Điều kiện: $\dfrac{2{{x}^{2}}-x+m}{{{x}^{2}}+1}>0\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-x+m>0$ .
Ta có: ${{\log }_{3}}\dfrac{2{{x}^{2}}-x+m}{{{x}^{2}}+1}={{x}^{2}}+x+4-m$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2{{x}^{2}}-x+m \right)-{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)=\left( 3{{x}^{2}}+3 \right)-\left( 2{{x}^{2}}-x+m \right)+1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2{{x}^{2}}-x+m \right)+\left( 2{{x}^{2}}-x+m \right)={{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)+1+\left( 3{{x}^{2}}+3 \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2{{x}^{2}}-x+m \right)+\left( 2{{x}^{2}}-x+m \right)={{\log }_{3}}\left( 3{{x}^{2}}+3 \right)+\left( 3{{x}^{2}}+3 \right)$, $\left( * \right)$
Xét hàm số: $f\left( t \right)={{\log }_{3}}t+t$ với $t>0$ .
Ta có: ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 3}+1>0,\forall t>0$ .
$\Rightarrow $ Hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ .
Khi đó: $\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( 2{{x}^{2}}-x+m \right)=f\left( 3{{x}^{2}}+3 \right)$
$\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-x+m=3{{x}^{2}}+3$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x+3-m=0$, $\left( ** \right)$
Phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow $ phương trình $\left( ** \right)$ có 2 nghiệm trái dấu
$\Leftrightarrow $ $1.\left( 3-m \right)<0$ $\Leftrightarrow $ $m>3$ .
Mà $m\in \mathbb{Z}$, $m\in \left[ -2022;2022 \right]$ nên $m\in \left\{ 4;5;6;...;2022 \right\}$ $\Rightarrow $ Có $2019$ số nguyên $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ta có: ${{\log }_{3}}\dfrac{2{{x}^{2}}-x+m}{{{x}^{2}}+1}={{x}^{2}}+x+4-m$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2{{x}^{2}}-x+m \right)-{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)=\left( 3{{x}^{2}}+3 \right)-\left( 2{{x}^{2}}-x+m \right)+1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2{{x}^{2}}-x+m \right)+\left( 2{{x}^{2}}-x+m \right)={{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)+1+\left( 3{{x}^{2}}+3 \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2{{x}^{2}}-x+m \right)+\left( 2{{x}^{2}}-x+m \right)={{\log }_{3}}\left( 3{{x}^{2}}+3 \right)+\left( 3{{x}^{2}}+3 \right)$, $\left( * \right)$
Xét hàm số: $f\left( t \right)={{\log }_{3}}t+t$ với $t>0$ .
Ta có: ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 3}+1>0,\forall t>0$ .
$\Rightarrow $ Hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ .
Khi đó: $\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( 2{{x}^{2}}-x+m \right)=f\left( 3{{x}^{2}}+3 \right)$
$\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-x+m=3{{x}^{2}}+3$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x+3-m=0$, $\left( ** \right)$
Phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow $ phương trình $\left( ** \right)$ có 2 nghiệm trái dấu
$\Leftrightarrow $ $1.\left( 3-m \right)<0$ $\Leftrightarrow $ $m>3$ .
Mà $m\in \mathbb{Z}$, $m\in \left[ -2022;2022 \right]$ nên $m\in \left\{ 4;5;6;...;2022 \right\}$ $\Rightarrow $ Có $2019$ số nguyên $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án D.