Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{\log }_{3}}\dfrac{2x-1}{27{{x}^{2}}-54x+9m}=3{{x}^{2}}-8x+m-1$. Gọi $S$ là tập tất cả các giá trị nguyên dương của $m$ để phương trình đã cho có 2 nghiệm thực phân biệt thuộc $\left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$. Tổng các phần tử của $S$ bằng:
A. $4$.
B. $5$.
C. $6$.
D. $7$.
A. $4$.
B. $5$.
C. $6$.
D. $7$.
Do ta xét nghiệm của phương trình thỏa $x>\dfrac{1}{2}\Rightarrow 2x-1>0$ nên $27{{x}^{2}}-54x+9m>0$.
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& T=2x-1 \\
& M=27{{x}^{2}}-54x+9m=9\left( 3{{x}^{2}}-6x+m \right) \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó phương trình đã cho $\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\dfrac{T}{M}=\dfrac{M}{9}-T-2\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\dfrac{9T}{M}=\dfrac{M}{9}-T$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}9T+T={{\log }_{3}}\left[ 9\left( \dfrac{M}{9} \right) \right]+\left( \dfrac{M}{9} \right)$ $\left( * \right)$
Xét hàm $f\left( t \right)={{\log }_{3}}t+\dfrac{t}{9}$ với $t>0$. Dễ dàng chứng minh $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$
Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow T=\dfrac{M}{9}\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-8x+m+1=0$ $\Leftrightarrow m=\underbrace{-3{{x}^{2}}+8x-1}_{g\left( x \right)}$, $\forall x>\dfrac{1}{2}$
Ta có: $g'\left( x \right)=-6x+8$. Cho $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{4}{3}\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$.
Lập bảng biến thiên của $g\left( x \right)$ ta có:
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow $ $\dfrac{9}{4}<m<\dfrac{13}{3}$.
Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 3;4 \right\}$.
Vậy tổng phần tử của tập $S$ là $3+4=7$.
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& T=2x-1 \\
& M=27{{x}^{2}}-54x+9m=9\left( 3{{x}^{2}}-6x+m \right) \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó phương trình đã cho $\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\dfrac{T}{M}=\dfrac{M}{9}-T-2\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\dfrac{9T}{M}=\dfrac{M}{9}-T$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}9T+T={{\log }_{3}}\left[ 9\left( \dfrac{M}{9} \right) \right]+\left( \dfrac{M}{9} \right)$ $\left( * \right)$
Xét hàm $f\left( t \right)={{\log }_{3}}t+\dfrac{t}{9}$ với $t>0$. Dễ dàng chứng minh $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$
Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow T=\dfrac{M}{9}\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-8x+m+1=0$ $\Leftrightarrow m=\underbrace{-3{{x}^{2}}+8x-1}_{g\left( x \right)}$, $\forall x>\dfrac{1}{2}$
Ta có: $g'\left( x \right)=-6x+8$. Cho $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{4}{3}\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$.
Lập bảng biến thiên của $g\left( x \right)$ ta có:
Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 3;4 \right\}$.
Vậy tổng phần tử của tập $S$ là $3+4=7$.
Đáp án D.