Cho phương trình ${{\log...

The Knowledge · 14/1/22

Câu hỏi: Cho phương trình

\log_{3} \frac{2 x^{2} - x + m}{x^{2} + 1} = x^{2} + x + 4 - m

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m \in [1; 10]

để phương trình có hai nghiệm trái dấu
A. 7
B. 8
C. 6
D. 5

Phương trình đã cho tương đương:

2 x^{2} - x + m + \log_{3} (2 x^{2} - x + m) = 3 x^{2} + 3 + \log_{3} (3 x^{2} + 3)

Xét hàm số

f (t) = t + \log_{3} t

trên

(0; + \infty)

, có

f^{'} (t) = 1 + \frac{1}{t . \ln 3} > 0; \forall t > 0

Suy ra

f (t)

là hàm số đồng biến trên

(0; + \infty)

mà

f (2 x^{2} - x + m) = f (3 x^{2} + 3)

Do đó

2 x^{2} - x + m = 3 x^{2} + 3 \Leftrightarrow x^{2} + x + 3 - m = 0

có 2 nghiệm trái dấu

\Leftrightarrow 1. (3 - m) < 0 \Leftrightarrow m > 3

Kết hợp

m \in Z

và

m \in [1; 10] \Rightarrow

có 7 giá trị nguyên cần tìm.

Đáp án A.