Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{\log }_{3}}\dfrac{2{{x}^{2}}-x+m}{{{x}^{2}}+1}={{x}^{2}}+x+4-m$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ 1;10 \right]$ để phương trình có hai nghiệm trái dấu
A. 7
B. 8
C. 6
D. 5
A. 7
B. 8
C. 6
D. 5
Phương trình đã cho tương đương: $2{{x}^{2}}-x+m+{{\log }_{3}}\left( 2{{x}^{2}}-x+m \right)=3{{x}^{2}}+3+{{\log }_{3}}\left( 3{{x}^{2}}+3 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)=t+{{\log }_{3}}t$ trên $\left( 0;+\infty \right)$, có ${f}'\left( t \right)=1+\dfrac{1}{t.\ln 3}>0;\forall t>0$
Suy ra $f\left( t \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$ mà $f\left( 2{{x}^{2}}-x+m \right)=f\left( 3{{x}^{2}}+3 \right)$
Do đó $2{{x}^{2}}-x+m=3{{x}^{2}}+3\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x+3-m=0$ có 2 nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow 1.\left( 3-m \right)<0\Leftrightarrow m>3$
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[ 1;10 \right]\Rightarrow $ có 7 giá trị nguyên cần tìm.
Xét hàm số $f\left( t \right)=t+{{\log }_{3}}t$ trên $\left( 0;+\infty \right)$, có ${f}'\left( t \right)=1+\dfrac{1}{t.\ln 3}>0;\forall t>0$
Suy ra $f\left( t \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$ mà $f\left( 2{{x}^{2}}-x+m \right)=f\left( 3{{x}^{2}}+3 \right)$
Do đó $2{{x}^{2}}-x+m=3{{x}^{2}}+3\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x+3-m=0$ có 2 nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow 1.\left( 3-m \right)<0\Leftrightarrow m>3$
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[ 1;10 \right]\Rightarrow $ có 7 giá trị nguyên cần tìm.
Đáp án A.