Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{\log }_{3}}\dfrac{2{{x}^{2}}-x+m}{{{x}^{2}}+1}={{x}^{2}}+x+4-m.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -2018;2018 \right]$ để phương trình có hai nghiệm trái dấu?
A. 2022.
B. 2021.
C. 2016.
D. 2015.
A. 2022.
B. 2021.
C. 2016.
D. 2015.
ĐK: $2{{\text{x}}^{2}}-x+m>0$.
Ta có: PT $\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+m \right)-{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)=-\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+m \right)+3\left( {{x}^{2}}+1 \right)+1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+m \right)-{{\log }_{3}}\left[ 3\left( {{x}^{2}}+1 \right) \right]=-\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+m \right)+3\left( {{x}^{2}}+1 \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+m \right)+\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+m \right)={{\log }_{3}}\left[ 3\left( {{x}^{2}}+1 \right) \right]+3\left( {{x}^{2}}+1 \right)$ (*)
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{3}}t+t\left( t>0 \right)$ ta có: ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 3}+1>0\left( \forall t>0 \right)$ do đó hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Khi đó (*) $\Leftrightarrow f\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+m \right)=f\left[ 3\left( {{x}^{2}}+1 \right) \right]\Leftrightarrow 2{{\text{x}}^{2}}-x+m=3\left( {{x}^{2}}+1 \right)$ (thỏa mãn điều kiện)
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x+3-m=0\left( x\in \mathbb{R} \right)$.
Phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu khi $P=ac=3-m<0\Leftrightarrow m>3$.
Kết hợp $\left\{ \begin{aligned}
& m\in \mathbb{Z} \\
& m\in \left[ -2018;2018 \right] \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $ có 2015 giá trị của tham số m.
Ta có: PT $\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+m \right)-{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)=-\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+m \right)+3\left( {{x}^{2}}+1 \right)+1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+m \right)-{{\log }_{3}}\left[ 3\left( {{x}^{2}}+1 \right) \right]=-\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+m \right)+3\left( {{x}^{2}}+1 \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+m \right)+\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+m \right)={{\log }_{3}}\left[ 3\left( {{x}^{2}}+1 \right) \right]+3\left( {{x}^{2}}+1 \right)$ (*)
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{3}}t+t\left( t>0 \right)$ ta có: ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 3}+1>0\left( \forall t>0 \right)$ do đó hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Khi đó (*) $\Leftrightarrow f\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+m \right)=f\left[ 3\left( {{x}^{2}}+1 \right) \right]\Leftrightarrow 2{{\text{x}}^{2}}-x+m=3\left( {{x}^{2}}+1 \right)$ (thỏa mãn điều kiện)
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x+3-m=0\left( x\in \mathbb{R} \right)$.
Phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu khi $P=ac=3-m<0\Leftrightarrow m>3$.
Kết hợp $\left\{ \begin{aligned}
& m\in \mathbb{Z} \\
& m\in \left[ -2018;2018 \right] \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $ có 2015 giá trị của tham số m.
Đáp án D.