Cho phương trình ${{\log }_{\sqrt{2}}}\left( {{x}^{3}}-3\text{x}...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Cho phương trình

\log_{\sqrt{2}} (x^{3} - 3 x) = 2 \sin (m x)

với m là tham số thực. Có tất cả bao nhiêu giá trị của

m \in (- 2020; 2020)

để phương trình đã cho có nghiệm trên đoạn

[2; 4]

?
A. 1280
B. 1285
C. 1287
D. 1286

Với

x \in [2; 4] \Rightarrow x^{3} - 3 x \geq 2

. Dấu "=" đạt được khi

x = 2

.

\Rightarrow V T = \log_{\sqrt{2}} (x^{3} - 3 x) \geq \log_{\sqrt{2}} 2 = 2, \forall x \in [2; 4]

.
Ta có

V P = 2 \sin (m x) \leq 2

. Dấu "=" xảy ra khi

\sin (m x) = 1

.
Khi đó

{\begin{aligned} V T \geq 2 \\ V P \geq 2 \end{aligned} \Rightarrow

phương trình đã cho có nghiệm trên

[2; 4]

\Leftrightarrow V P = V T = 2 \Leftrightarrow {\begin{aligned} x = 2 \\ \sin (m x) = 1 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} x = 2 \\ m x = \frac{π}{2} + k 2 π (k \in Z) \end{aligned} \Rightarrow m = \frac{π}{4} + k π

.
Với

m \in (- 2020; 2020) \Leftrightarrow - 2020 < \frac{π}{4} + k π < 2020 \Leftrightarrow - 643, 23 < k < 642, 7

.
Vì

k \in Z

nên có 1286 giá trị

\Rightarrow

có 1286 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án D.