Cho phương trình ${{\log }_{\sqrt{2}}}\left( {{x}^{3}}-3\text{x}...

Với $x\in \left[ 2;4 \right]\Rightarrow {{x}^{3}}-3\text{x}\ge 2$. Dấu "=" đạt được khi $x=2$.
$\Rightarrow VT={{\log }_{\sqrt{2}}}\left( {{x}^{3}}-3\text{x} \right)\ge {{\log }_{\sqrt{2}}}2=2,\forall x\in \left[ 2;4 \right]$.
Ta có $VP=2\sin \left( m\text{x} \right)\le 2$. Dấu "=" xảy ra khi $\sin \left( m\text{x} \right)=1$.
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& VT\ge 2 \\
& VP\ge 2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $ phương trình đã cho có nghiệm trên $ \left[ 2;4 \right]$
$\Leftrightarrow VP=VT=2\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& \sin \left( m\text{x} \right)=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& m\text{x}=\dfrac{\pi }{2}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m=\dfrac{\pi }{4}+k\pi $.
Với $m\in \left( -2020;2020 \right)\Leftrightarrow -2020<\dfrac{\pi }{4}+k\pi <2020\Leftrightarrow -643,23<k<642,7$.
Vì $k\in \mathbb{Z}$ nên có 1286 giá trị $\Rightarrow $ có 1286 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.