Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{\log }_{9}}{{x}^{2}}-{{\log }_{3}}\left( 6x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m$ (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm?
A. 6
B. 5
C. Vô số
D. 7
A. 6
B. 5
C. Vô số
D. 7
Điều kiện $x>\dfrac{1}{6}$ ta có phương trình $\Leftrightarrow {{\log }_{3}}x-{{\log }_{3}}\left( 6x-1 \right)={{\log }_{3}}\dfrac{1}{m}$ (với $m>0$ )
$\Leftrightarrow f\left( x \right)=\dfrac{x}{6x-1}=\dfrac{1}{m}$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{x}{6x-1}$ với $x>\dfrac{1}{6}$ ta có: ${f}'\left( x \right)=\dfrac{-1}{{{\left( 6x-1 \right)}^{2}}}<0 \left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$
Lại có: $\underset{x\to \dfrac{{{1}^{+}}}{5}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=+\infty , \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\dfrac{1}{6}$
Do đó phương trình có nghiệm khi $\dfrac{1}{m}>\dfrac{1}{6}\Leftrightarrow 0<m<6$
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ 1; 2; 3; 4; 5 \right\}$.
$\Leftrightarrow f\left( x \right)=\dfrac{x}{6x-1}=\dfrac{1}{m}$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{x}{6x-1}$ với $x>\dfrac{1}{6}$ ta có: ${f}'\left( x \right)=\dfrac{-1}{{{\left( 6x-1 \right)}^{2}}}<0 \left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$
Lại có: $\underset{x\to \dfrac{{{1}^{+}}}{5}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=+\infty , \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\dfrac{1}{6}$
Do đó phương trình có nghiệm khi $\dfrac{1}{m}>\dfrac{1}{6}\Leftrightarrow 0<m<6$
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ 1; 2; 3; 4; 5 \right\}$.
Đáp án B.