Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{\log }_{9}}{{x}^{2}}-{{\log }_{3}}\left( 5x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m$ (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm?
A. Vô số
B. 5
C. 4
D. 6
A. Vô số
B. 5
C. 4
D. 6
Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& x>\dfrac{1}{5} \\
& m>0 \\
\end{aligned} \right. $. Xét phương trình: $ {{\log }_{9}}{{x}^{2}}-{{\log }_{3}}\left( 5x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m$ (1).
Cách 1:
(1) $\Leftrightarrow {{\log }_{3}}x-{{\log }_{3}}\left( 5x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\dfrac{5x-1}{x}={{\log }_{3}}m\Leftrightarrow \dfrac{5x-1}{x}=m\Leftrightarrow 5-\dfrac{1}{x}=m$ (2)
Xét $f\left( x \right)=5-\dfrac{1}{x}$ trên khoảng $\left( \dfrac{1}{5};+\infty \right)$.
Có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{1}{{{x}^{2}}}>0,\forall x\in \left( \dfrac{1}{5};+\infty \right)$ và $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \left( 5-\dfrac{1}{x} \right)=5$
Ta có bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ :
Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm $x>\dfrac{1}{5}$.
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi $0<m<5$.
Mà $m\in \mathbb{Z}$ và m > 0 nên $m\in \left\{ 1;2;3;4 \right\}$. Vậy có 4 giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm.
Cách 2:
Với $\left\{ \begin{aligned}
& x>\dfrac{1}{5} \\
& m>0 \\
\end{aligned} \right.$, ta có:
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}x-{{\log }_{3}}\left( 5x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\dfrac{5x-1}{x}={{\log }_{3}}m\Leftrightarrow \dfrac{5x-1}{x}=m\Leftrightarrow \left( 5-m \right)x=1$ (2)
Với $m=5$, phương trình (2) thành $0x=1$ (vô nghiệm).
Với $m\ne 5$, (2) $\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{5-m}$
Xét $x>\dfrac{1}{5}\Leftrightarrow \dfrac{1}{5-m}>\dfrac{1}{5}\Leftrightarrow \dfrac{m}{5.\left( 5-m \right)}>0\Leftrightarrow 0<m<5$
Mà $m\in \mathbb{Z}$ và m > 0 nên $m\in \left\{ 1;2;3;4 \right\}$.
Vậy có 4 giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm.
& x>\dfrac{1}{5} \\
& m>0 \\
\end{aligned} \right. $. Xét phương trình: $ {{\log }_{9}}{{x}^{2}}-{{\log }_{3}}\left( 5x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m$ (1).
Cách 1:
(1) $\Leftrightarrow {{\log }_{3}}x-{{\log }_{3}}\left( 5x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\dfrac{5x-1}{x}={{\log }_{3}}m\Leftrightarrow \dfrac{5x-1}{x}=m\Leftrightarrow 5-\dfrac{1}{x}=m$ (2)
Xét $f\left( x \right)=5-\dfrac{1}{x}$ trên khoảng $\left( \dfrac{1}{5};+\infty \right)$.
Có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{1}{{{x}^{2}}}>0,\forall x\in \left( \dfrac{1}{5};+\infty \right)$ và $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \left( 5-\dfrac{1}{x} \right)=5$
Ta có bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ :
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi $0<m<5$.
Mà $m\in \mathbb{Z}$ và m > 0 nên $m\in \left\{ 1;2;3;4 \right\}$. Vậy có 4 giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm.
Cách 2:
Với $\left\{ \begin{aligned}
& x>\dfrac{1}{5} \\
& m>0 \\
\end{aligned} \right.$, ta có:
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}x-{{\log }_{3}}\left( 5x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\dfrac{5x-1}{x}={{\log }_{3}}m\Leftrightarrow \dfrac{5x-1}{x}=m\Leftrightarrow \left( 5-m \right)x=1$ (2)
Với $m=5$, phương trình (2) thành $0x=1$ (vô nghiệm).
Với $m\ne 5$, (2) $\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{5-m}$
Xét $x>\dfrac{1}{5}\Leftrightarrow \dfrac{1}{5-m}>\dfrac{1}{5}\Leftrightarrow \dfrac{m}{5.\left( 5-m \right)}>0\Leftrightarrow 0<m<5$
Mà $m\in \mathbb{Z}$ và m > 0 nên $m\in \left\{ 1;2;3;4 \right\}$.
Vậy có 4 giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm.
Đáp án C.