Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{\log }_{9}}{{x}^{2}}-{{\log }_{3}}\left( 4x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m$ ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm?
A. 5
B. 3
C. Vô số
D. 4
A. 5
B. 3
C. Vô số
D. 4
Điều kiện $x>\dfrac{1}{4}$ ta có phương trình $\Leftrightarrow {{\log }_{3}}x-{{\log }_{3}}\left( 4x-1 \right)={{\log }_{3}}\dfrac{1}{m}$ $\Leftrightarrow f\left( x \right)=\dfrac{x}{4x-1}=\dfrac{1}{m}$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{x}{4x-1}$ với $x>\dfrac{1}{4}$ ta có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{-1}{{{\left( 4x-1 \right)}^{2}}}<0\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$
Lại có: $\underset{x\to \dfrac{1}{4}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=+\infty ,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\dfrac{1}{4}$
Do đó phương trình có nghiệm khi $\dfrac{1}{m}>\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow 0<m<4$. Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ 1;2;3 \right\}$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{x}{4x-1}$ với $x>\dfrac{1}{4}$ ta có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{-1}{{{\left( 4x-1 \right)}^{2}}}<0\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$
Lại có: $\underset{x\to \dfrac{1}{4}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=+\infty ,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\dfrac{1}{4}$
Do đó phương trình có nghiệm khi $\dfrac{1}{m}>\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow 0<m<4$. Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ 1;2;3 \right\}$.
Đáp án B.