Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{\log }_{4}}x+m={{2}^{2x-2m}}$ (m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng $\left( -6;12 \right)$ của m để phương trình đã cho có nghiệm?
A. 10.
B. 9.
C. 11.
D. 12.
A. 10.
B. 9.
C. 11.
D. 12.
Điều kiện: x > 0 (*). Đặt
${{\log }_{4}}x=a\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x={{4}^{a}} \\
& a+m={{2}^{2x-2m}}={{\left( {{2}^{2}} \right)}^{x-m}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x={{4}^{a}} \\
& a={{4}^{x-m}}-m \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow {{4}^{x-m}}+x-m={{4}^{a}}+a\Rightarrow x-m=a\Rightarrow x=a+m\Rightarrow a+m={{4}^{a}}\Leftrightarrow m={{4}^{a}}-a$.
Xét hàm số $f\left( a \right)={{4}^{a}}-a,a\in \mathbb{R}$ có
${f}'\left( a \right)={{4}^{a}}\ln 4-1=0\Rightarrow {{4}^{a}}=\dfrac{1}{\ln 4}\Rightarrow a={{\log }_{4}}\dfrac{1}{\ln 4}$
Xét bảng sau, trong đó ${{a}_{0}}={{\log }_{4}}\dfrac{1}{\ln 4}$.
Từ bảng trên, ta được $m\ge f\left( {{a}_{0}} \right)$ thỏa mãn hay $m\ge f\left( {{\log }_{4}}\dfrac{1}{\ln 4} \right)\left( \approx -0,24 \right)$
Kết hợp với $m\in \left( -6;12 \right),m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 0;1;2;...;11 \right\}$.
${{\log }_{4}}x=a\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x={{4}^{a}} \\
& a+m={{2}^{2x-2m}}={{\left( {{2}^{2}} \right)}^{x-m}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x={{4}^{a}} \\
& a={{4}^{x-m}}-m \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow {{4}^{x-m}}+x-m={{4}^{a}}+a\Rightarrow x-m=a\Rightarrow x=a+m\Rightarrow a+m={{4}^{a}}\Leftrightarrow m={{4}^{a}}-a$.
Xét hàm số $f\left( a \right)={{4}^{a}}-a,a\in \mathbb{R}$ có
${f}'\left( a \right)={{4}^{a}}\ln 4-1=0\Rightarrow {{4}^{a}}=\dfrac{1}{\ln 4}\Rightarrow a={{\log }_{4}}\dfrac{1}{\ln 4}$
Xét bảng sau, trong đó ${{a}_{0}}={{\log }_{4}}\dfrac{1}{\ln 4}$.
Từ bảng trên, ta được $m\ge f\left( {{a}_{0}} \right)$ thỏa mãn hay $m\ge f\left( {{\log }_{4}}\dfrac{1}{\ln 4} \right)\left( \approx -0,24 \right)$
Kết hợp với $m\in \left( -6;12 \right),m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 0;1;2;...;11 \right\}$.
Đáp án D.