Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{\log }_{3}}\left( \sqrt{x}+3+\sqrt{6-x}-m \right)+{{\log }_{\dfrac{1}{9}}}\left( 18+3x-{{x}^{2}} \right)=0$. Biết rằng phương trình đã cho có nghiệm khi $m\in \left[ \dfrac{a+b\sqrt{2}}{2};c \right)$ với $a,b,c$ là các số nguyên. Tính tổng $a+b+c$.
A. 18.
B. 0.
C. 9.
D. 6.
A. 18.
B. 0.
C. 9.
D. 6.
Điều kiện: $18+3x-{{x}^{2}}>0\Leftrightarrow x\in \left( -3;6 \right)$.
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( \sqrt{x+3}+\sqrt{6-x}-m \right)=-{{\log }_{\dfrac{1}{9}}}\left( 18+3x-{{x}^{2}} \right)$
$={{\log }_{{{3}^{2}}}}\left( 18+3x-{{x}^{2}} \right)=\dfrac{1}{2}{{\log }_{3}}\left( 18+3x-{{x}^{2}} \right)$
$\Leftrightarrow \sqrt{x+3}+\sqrt{6-x}-m=\sqrt{18+3x-{{x}^{2}}}$ với $x\in \left( -3;6 \right)$.
Đặt $t=\sqrt{x+3}+\sqrt{6-x}\Rightarrow {t}'=\dfrac{1}{2\sqrt{x+3}}-\dfrac{1}{2\sqrt{6-x}}=0\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$
Lại có $t\left( -3 \right)=t\left( 6 \right)=3,t\left( \dfrac{3}{2} \right)=3\sqrt{2}\Rightarrow t\in \left( 3;3\sqrt{2} \right]$.
Mặt khác ${{t}^{2}}=9+2\sqrt{\left( x+3 \right)\left( 6-x \right)}=9+2\sqrt{18+3x-{{x}^{2}}}\Rightarrow t-m=\dfrac{{{t}^{2}}-9}{2}$
$\Leftrightarrow 2t-2m={{t}^{2}}-9\Leftrightarrow 2m=-{{t}^{2}}+2t+9=f\left( t \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=-{{t}^{2}}+2t+9$ nghịch biến trên nửa đoạn $\left( 3;3\sqrt{2} \right]$ nên phương trình đã cho có nghiệm
$\Leftrightarrow f\left( 3\sqrt{2} \right)\le 2m<f\left( 3 \right)\Leftrightarrow -9+6\sqrt{2}\le m<6\Leftrightarrow m\in \left[ \dfrac{-9+6\sqrt{2}}{2};3 \right)$
Vậy $a=-9;b=6,c=3\Rightarrow a+b+c=0$.
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( \sqrt{x+3}+\sqrt{6-x}-m \right)=-{{\log }_{\dfrac{1}{9}}}\left( 18+3x-{{x}^{2}} \right)$
$={{\log }_{{{3}^{2}}}}\left( 18+3x-{{x}^{2}} \right)=\dfrac{1}{2}{{\log }_{3}}\left( 18+3x-{{x}^{2}} \right)$
$\Leftrightarrow \sqrt{x+3}+\sqrt{6-x}-m=\sqrt{18+3x-{{x}^{2}}}$ với $x\in \left( -3;6 \right)$.
Đặt $t=\sqrt{x+3}+\sqrt{6-x}\Rightarrow {t}'=\dfrac{1}{2\sqrt{x+3}}-\dfrac{1}{2\sqrt{6-x}}=0\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$
Lại có $t\left( -3 \right)=t\left( 6 \right)=3,t\left( \dfrac{3}{2} \right)=3\sqrt{2}\Rightarrow t\in \left( 3;3\sqrt{2} \right]$.
Mặt khác ${{t}^{2}}=9+2\sqrt{\left( x+3 \right)\left( 6-x \right)}=9+2\sqrt{18+3x-{{x}^{2}}}\Rightarrow t-m=\dfrac{{{t}^{2}}-9}{2}$
$\Leftrightarrow 2t-2m={{t}^{2}}-9\Leftrightarrow 2m=-{{t}^{2}}+2t+9=f\left( t \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=-{{t}^{2}}+2t+9$ nghịch biến trên nửa đoạn $\left( 3;3\sqrt{2} \right]$ nên phương trình đã cho có nghiệm
$\Leftrightarrow f\left( 3\sqrt{2} \right)\le 2m<f\left( 3 \right)\Leftrightarrow -9+6\sqrt{2}\le m<6\Leftrightarrow m\in \left[ \dfrac{-9+6\sqrt{2}}{2};3 \right)$
Vậy $a=-9;b=6,c=3\Rightarrow a+b+c=0$.
Đáp án B.