Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{\log }_{3}}\left( 3{{x}^{2}}-6x+6 \right)={{3}^{{{y}^{2}}}}+{{y}^{2}}-{{x}^{2}}+2x-1$. Hỏi có bao nhiêu cặp số $\left( x;y \right)$ và $0<x<2020,y\in \mathbb{N}$ thỏa mãn phương trình đã cho?
A. 5
B. 6
C. 7
D. 4
A. 5
B. 6
C. 7
D. 4
Ta có ${{\log }_{3}}\left( 3{{x}^{2}}-6x+6 \right)={{3}^{{{y}^{2}}}}+{{y}^{2}}-{{x}^{2}}+2x-1\Leftrightarrow 1+{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)={{3}^{{{y}^{2}}}}+{{y}^{2}}-{{x}^{2}}+2x-1$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+2+{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)={{3}^{{{y}^{2}}}}+{{\log }_{3}}{{3}^{{{y}^{2}}}}\Leftrightarrow f\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)=f\left( {{3}^{{{y}^{2}}}} \right)$ (*)
Với $f\left( t \right)=t+{{\log }_{3}}t$ là hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$
Khi đó (*) $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+2={{3}^{{{y}^{2}}}}$ mà $x\in \left( 0;2020 \right)$ nên $1\le {{x}^{2}}-2x+2<4076362$
Do đó $1\le {{3}^{{{y}^{2}}}}<4076362\xrightarrow{y\in \mathbb{N}}0\le y<\sqrt{{{\log }_{3}}4076362}$ nên có 4 số tự nhiên y thỏa mãn
Và với mỗi số tự nhiên y đều cho 1 số thực $x\Rightarrow $ có 4 cặp $\left( x;y \right)$ thỏa mãn.
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+2+{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)={{3}^{{{y}^{2}}}}+{{\log }_{3}}{{3}^{{{y}^{2}}}}\Leftrightarrow f\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)=f\left( {{3}^{{{y}^{2}}}} \right)$ (*)
Với $f\left( t \right)=t+{{\log }_{3}}t$ là hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$
Khi đó (*) $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+2={{3}^{{{y}^{2}}}}$ mà $x\in \left( 0;2020 \right)$ nên $1\le {{x}^{2}}-2x+2<4076362$
Do đó $1\le {{3}^{{{y}^{2}}}}<4076362\xrightarrow{y\in \mathbb{N}}0\le y<\sqrt{{{\log }_{3}}4076362}$ nên có 4 số tự nhiên y thỏa mãn
Và với mỗi số tự nhiên y đều cho 1 số thực $x\Rightarrow $ có 4 cặp $\left( x;y \right)$ thỏa mãn.
Đáp án D.