Google
Câu hỏi: Cho phương trình $\log _{3}^{2}x-{{\log }_{3}}x+m-3=0$. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{2}}-81{{x}_{1}}<0$.
A. 4.
B. 5.
C. 3.
D. 6.
A. 4.
B. 5.
C. 3.
D. 6.
Điều kiện: $x>0$.
Đặt ${{\log }_{3}}x=t$ ta có phương trình ${{t}^{2}}-4t+m-3=0 \ \left( * \right)$.
Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ${{t}_{1}}<{{t}_{2}}$.
Hay $\Delta '={{2}^{2}}-\left( m-3 \right)=7-m>0\Leftrightarrow m<7$.
Theo hệ thức Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=4 \\
& {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=m-3 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có: ${{t}_{1}}={{\log }_{3}}{{x}_{1}}\Rightarrow {{x}_{1}}={{3}^{{{t}_{1}}}};{{t}_{2}}={{\log }_{3}}{{x}_{2}}\Rightarrow {{x}_{2}}={{3}^{{{t}_{2}}}}$.
Khi đó ${{x}_{2}}-81{{x}_{1}}<0\Leftrightarrow {{3}^{{{t}_{2}}}}-{{81.3}^{{{t}_{1}}}}<0\Leftrightarrow {{3}^{{{t}_{2}}}}<{{3}^{{{t}_{1+4}}}}\Leftrightarrow {{t}_{2}}<{{t}_{1}}+4\Leftrightarrow {{t}_{2}}-{{t}_{1}}<4$.
Suy ra ${{\left( {{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right)}^{2}}<16\Leftrightarrow {{\left( {{t}_{2}}+{{t}_{1}} \right)}^{2}}-4{{t}_{1}}{{t}_{2}}<16\Leftrightarrow {{\left( -4 \right)}^{2}}-4\left( m-3 \right)<16\Leftrightarrow m-3>0\Leftrightarrow m>3$.
Từ đó $3<m<7$ mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 4;5;6 \right\}$.
Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn đề bài.
Đặt ${{\log }_{3}}x=t$ ta có phương trình ${{t}^{2}}-4t+m-3=0 \ \left( * \right)$.
Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ${{t}_{1}}<{{t}_{2}}$.
Hay $\Delta '={{2}^{2}}-\left( m-3 \right)=7-m>0\Leftrightarrow m<7$.
Theo hệ thức Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=4 \\
& {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=m-3 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có: ${{t}_{1}}={{\log }_{3}}{{x}_{1}}\Rightarrow {{x}_{1}}={{3}^{{{t}_{1}}}};{{t}_{2}}={{\log }_{3}}{{x}_{2}}\Rightarrow {{x}_{2}}={{3}^{{{t}_{2}}}}$.
Khi đó ${{x}_{2}}-81{{x}_{1}}<0\Leftrightarrow {{3}^{{{t}_{2}}}}-{{81.3}^{{{t}_{1}}}}<0\Leftrightarrow {{3}^{{{t}_{2}}}}<{{3}^{{{t}_{1+4}}}}\Leftrightarrow {{t}_{2}}<{{t}_{1}}+4\Leftrightarrow {{t}_{2}}-{{t}_{1}}<4$.
Suy ra ${{\left( {{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right)}^{2}}<16\Leftrightarrow {{\left( {{t}_{2}}+{{t}_{1}} \right)}^{2}}-4{{t}_{1}}{{t}_{2}}<16\Leftrightarrow {{\left( -4 \right)}^{2}}-4\left( m-3 \right)<16\Leftrightarrow m-3>0\Leftrightarrow m>3$.
Từ đó $3<m<7$ mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 4;5;6 \right\}$.
Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn đề bài.
Đáp án C.