Cho phương trình ${\log }_3^{2}x-{\log }_{3}x+m-3=0$. Tìm tất cả...

Điều kiện: $x>0$.
Đặt ${\log }_{3}x=t$ ta có phương trình $t^2-4t+m-3=0(\ast )$.
Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_1<x_2$ thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $t_1<t_2$.
Hay ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=2^2-(m-3)=7-m>0\iff m<7$.
Theo hệ thức Vi-ét ta có: $\{\begin{array}{rl}& t_1+t_2=4\\ & t_1.t_2=m-3\end{array}$.
Ta có: $t_1={\log }_3{x}_1\Rightarrow x_1=3^{t_1};t_2={\log }_3{x}_2\Rightarrow x_2=3^{t_2}$.
Khi đó $x_2-81x_1<0\iff 3^{t_2}-{81.3}^{t_1}<0\iff 3^{t_2}<3^{t_{1+4}}\iff t_2<t_1+4\iff t_2-t_1<4$.
Suy ra ${(t_2-t_1)}^2<16\iff {(t_2+t_1)}^2-4t_1{t}_2<16\iff {(-4)}^2-4(m-3)<16\iff m-3>0\iff m>3$.
Từ đó $3<m<7$ mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{4;5;6\}$.
Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn đề bài.