Google
Câu hỏi: Cho phương trình $\log _{3}^{2}x-4{{\log }_{3}}x+m-3=0.$ Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{2}}-81{{x}_{1}}<0.$
A. 4
B. 5
C. 6
D. 3
A. 4
B. 5
C. 6
D. 3
Phương pháp:
- Tìm điều kiện xác định của phương trình.
- Đặt ẩn phụ ${{\log }_{3}}x=t$ để phương trình đã cho về phương trình bậc hai ẩn $t.$
- Từ điều kiện ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{2}}-81{{x}_{1}}<0$ suy ra điều kiện của $t.$
- Áp dụng định lí Vi-ét cho phương trình bậc hai.
Cách giải:
ĐKXĐ: $x>0$
Đặt ${{\log }_{3}}x=t,$ phương trình đã cho trở thành: ${{t}^{2}}-4t+m-3=0\left( * \right)$
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ thì phương trình $\left( * \right)$ có 2 nghiệm phân biệt ${{t}_{1}}<{{t}_{2}}$.
Suy ra $\Delta '=4-\left( m-3 \right)=7-m>0\Rightarrow m<7\left( ** \right).$
Khi đó áp dụng Vi-et ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=4 \\
& {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=m-3 \\
\end{aligned} \right.$
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{3}}{{x}_{1}}={{t}_{1}} \\
& {{\log }_{3}}{{x}_{2}}={{t}_{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}={{3}^{{{t}_{1}}}} \\
& {{x}_{2}}={{3}^{{{t}_{2}}}} \\
\end{aligned} \right..$
Theo bài ra ta có:
${{x}_{2}}-81{{x}_{1}}<0\Leftrightarrow {{3}^{{{t}_{2}}}}-{{81.3}^{{{t}_{1}}}}<0$
$\Leftrightarrow {{3}^{{{t}_{2}}}}<{{3}^{{{t}_{1}}+4}}\Leftrightarrow {{t}_{2}}<{{t}_{1}}+4\Leftrightarrow {{t}_{2}}-{{t}_{1}}<4$
$\Leftrightarrow {{\left( {{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right)}^{2}}<16$ (do ${{t}_{2}}-{{t}_{1}}>0)$
$\Leftrightarrow {{\left( {{t}_{2}}+{{t}_{1}} \right)}^{2}}-4{{t}_{1}}{{t}_{2}}<16$
$\Leftrightarrow 16-4\left( m-3 \right)<16$
$\Leftrightarrow 16-4m+12<0\Leftrightarrow m>3$
Kết hợp điều kiện $\left( ** \right)$ và điều kiện đề bài ta có $\left\{ \begin{aligned}
& 3<m<7 \\
& m\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m\in \left\{ 4;5;6 \right\}.$
Vậy có 3 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
- Tìm điều kiện xác định của phương trình.
- Đặt ẩn phụ ${{\log }_{3}}x=t$ để phương trình đã cho về phương trình bậc hai ẩn $t.$
- Từ điều kiện ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{2}}-81{{x}_{1}}<0$ suy ra điều kiện của $t.$
- Áp dụng định lí Vi-ét cho phương trình bậc hai.
Cách giải:
ĐKXĐ: $x>0$
Đặt ${{\log }_{3}}x=t,$ phương trình đã cho trở thành: ${{t}^{2}}-4t+m-3=0\left( * \right)$
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ thì phương trình $\left( * \right)$ có 2 nghiệm phân biệt ${{t}_{1}}<{{t}_{2}}$.
Suy ra $\Delta '=4-\left( m-3 \right)=7-m>0\Rightarrow m<7\left( ** \right).$
Khi đó áp dụng Vi-et ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=4 \\
& {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=m-3 \\
\end{aligned} \right.$
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{3}}{{x}_{1}}={{t}_{1}} \\
& {{\log }_{3}}{{x}_{2}}={{t}_{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}={{3}^{{{t}_{1}}}} \\
& {{x}_{2}}={{3}^{{{t}_{2}}}} \\
\end{aligned} \right..$
Theo bài ra ta có:
${{x}_{2}}-81{{x}_{1}}<0\Leftrightarrow {{3}^{{{t}_{2}}}}-{{81.3}^{{{t}_{1}}}}<0$
$\Leftrightarrow {{3}^{{{t}_{2}}}}<{{3}^{{{t}_{1}}+4}}\Leftrightarrow {{t}_{2}}<{{t}_{1}}+4\Leftrightarrow {{t}_{2}}-{{t}_{1}}<4$
$\Leftrightarrow {{\left( {{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right)}^{2}}<16$ (do ${{t}_{2}}-{{t}_{1}}>0)$
$\Leftrightarrow {{\left( {{t}_{2}}+{{t}_{1}} \right)}^{2}}-4{{t}_{1}}{{t}_{2}}<16$
$\Leftrightarrow 16-4\left( m-3 \right)<16$
$\Leftrightarrow 16-4m+12<0\Leftrightarrow m>3$
Kết hợp điều kiện $\left( ** \right)$ và điều kiện đề bài ta có $\left\{ \begin{aligned}
& 3<m<7 \\
& m\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m\in \left\{ 4;5;6 \right\}.$
Vậy có 3 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án D.