Google
Câu hỏi: Cho phương trình $\log _{3}^{2}\left( 3\text{x} \right)-\left( m+2 \right){{\log }_{3}}x+m-2=0$ (m là tham số thực). Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ \dfrac{1}{3};3 \right]$ là
A. $\left( 0;2 \right)$
B. $\left[ 0;2 \right]$
C. $\left[ 0;2 \right)$
D. $\left( 2;+\infty \right)$
A. $\left( 0;2 \right)$
B. $\left[ 0;2 \right]$
C. $\left[ 0;2 \right)$
D. $\left( 2;+\infty \right)$
Điều kiện: $x>0$
Ta có: ${{\log }_{3}}^{2}\left( 3x \right)-\left( m+2 \right){{\log }_{3}}x+m-2=0\Leftrightarrow {{\log }_{3}}^{2}x-m{{\log }_{3}}x+m-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{\log }_{3}}x=1 \\
{{\log }_{3}}x=m-1 \\
\end{array} \right.$.
Phương trình: ${{\log }_{3}}x=1\Leftrightarrow x=3\in \left[ \dfrac{1}{3};3 \right]$
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ \dfrac{1}{3};3 \right]$ thì phương trình:
${{\log }_{3}}x=m-1$ có 1 nghiệm thuộc $\left[ \dfrac{1}{3};3 \right)$.
$\Rightarrow {{\log }_{3}}\dfrac{1}{3}\le {{\log }_{3}}x=m-1<{{\log }_{3}}3\Leftrightarrow -1\le m-1<1\Leftrightarrow 0\le m<2\Rightarrow m\in \left[ 0;2 \right)$.
Ta có: ${{\log }_{3}}^{2}\left( 3x \right)-\left( m+2 \right){{\log }_{3}}x+m-2=0\Leftrightarrow {{\log }_{3}}^{2}x-m{{\log }_{3}}x+m-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{\log }_{3}}x=1 \\
{{\log }_{3}}x=m-1 \\
\end{array} \right.$.
Phương trình: ${{\log }_{3}}x=1\Leftrightarrow x=3\in \left[ \dfrac{1}{3};3 \right]$
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ \dfrac{1}{3};3 \right]$ thì phương trình:
${{\log }_{3}}x=m-1$ có 1 nghiệm thuộc $\left[ \dfrac{1}{3};3 \right)$.
$\Rightarrow {{\log }_{3}}\dfrac{1}{3}\le {{\log }_{3}}x=m-1<{{\log }_{3}}3\Leftrightarrow -1\le m-1<1\Leftrightarrow 0\le m<2\Rightarrow m\in \left[ 0;2 \right)$.
Đáp án C.