Cho phương trình ${{\log }_{2}}(x-1)={{\log }_{2}}(x-2)m$. Tất cả các giá trị của $m$ để phương trình trên có nghiệm là

Ta có ${{\log }_{2}}(x-1)={{\log }_{2}}(x-2)m\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x-1>0 \\
& x-1=(x-2)m \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>1 \\
& (m-1)x=2m-1(*) \\
\end{aligned} \right.$
Nếu $m=1$ phương trình (*) trở thành $0x=1$ (vô lý): phương trình vô nghiệm.
Nếu $m\ne 1$ phương trình (*) có nghiệm $x=\dfrac{2m-1}{m-1}$, nghiệm này thỏa mãn nếu
$\dfrac{2m-1}{m-1}>1\Leftrightarrow \dfrac{2m-1}{m-1}-1>0\Leftrightarrow \dfrac{m}{m-1}>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>1 \\
& m<0 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy để phương trình ${{\log }_{2}}(x-1)={{\log }_{2}}(x-2)m$ có nghiệm thì $\left[ \begin{aligned}
& m>1 \\
& m<0 \\
\end{aligned} \right.$.