Cho phương trình ${{\log }_{2}}\left( x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}...

The Professor · 31/12/21

Câu hỏi: Cho phương trình

\log_{2} (x - \sqrt{x^{2} - 1}) . \log_{5} (x - \sqrt{x^{2} - 1}) = \log_{m} (x + \sqrt{x^{2} - 1}) .

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương khác

1

của

m

sao cho phương trình đã cho có nghiệm

x

lớn hơn

2

?
A.

9

.
B.

4

.
C.

1

.
D.

10

.

Điều kiện xác định:

x > \sqrt{x^{2} - 1}

\Leftrightarrow x \geq 1

.
Đặt

t = \log_{2} (x - \sqrt{x^{2} - 1})

thì

t^{'} = \frac{1 - \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}}{x - \sqrt{x^{2} - 1}} . \frac{1}{\ln 2}

= \frac{\sqrt{x^{2} - 1} - x}{(x - \sqrt{x^{2} - 1}) \sqrt{x^{2} - 1}} . \frac{1}{\ln 2}

= \frac{- 1}{\sqrt{x^{2} - 1} \ln 2} < 0

BBT:

Do

x > 2

\Rightarrow t < \log_{2} (2 - \sqrt{3})

.
Phương trình trở thành

t . \log_{5} 2^{t} = \log_{m} \frac{1}{2^{t}}

\Leftrightarrow t . \log_{5} 2 = - \log_{m} 2

\Leftrightarrow \log_{5} m = - \frac{1}{t}

Ycbt

\log_{5} m < - \frac{1}{\log_{2} (2 - \sqrt{3})}

\Leftrightarrow m < 5^{- \frac{1}{\log_{2} (2 - \sqrt{3})}}

. Do

m \in N^{*}

và

m \neq 1

nên

m = 2

.000000000000

Đáp án C.