Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{\log }_{2}}\left( x-\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right).{{\log }_{5}}\left( x-\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right)={{\log }_{m}}\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right).$ Có bao nhiêu giá trị nguyên dương khác $1$ của $m$ sao cho phương trình đã cho có nghiệm $x$ lớn hơn $2$ ?
A. $9$.
B. $4$.
C. $1$.
D. $10$.
A. $9$.
B. $4$.
C. $1$.
D. $10$.
Điều kiện xác định: $x>\sqrt{{{x}^{2}}-1}$ $\Leftrightarrow x\ge 1$.
Đặt $t={{\log }_{2}}\left( x-\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right)$ thì ${t}'=\dfrac{1-\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}}}{x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}}.\dfrac{1}{\ln 2}$ $=\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}-1}-x}{\left( x-\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right)\sqrt{{{x}^{2}}-1}}.\dfrac{1}{\ln 2}$
$=\dfrac{-1}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}\ln 2}<0$
BBT:
Do $x>2$ $\Rightarrow t<{{\log }_{2}}\left( 2-\sqrt{3} \right)$.
Phương trình trở thành $t.{{\log }_{5}}{{2}^{t}}={{\log }_{m}}\dfrac{1}{{{2}^{t}}}$ $\Leftrightarrow t.{{\log }_{5}}2=-{{\log }_{m}}2$ $\Leftrightarrow {{\log }_{5}}m=-\dfrac{1}{t}$
Ycbt ${{\log }_{5}}m<-\dfrac{1}{{{\log }_{2}}\left( 2-\sqrt{3} \right)}$ $\Leftrightarrow m<{{5}^{-\dfrac{1}{{{\log }_{2}}\left( 2-\sqrt{3} \right)}}}$. Do $m\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ và $m\ne 1$ nên $m=2$.000000000000
Đặt $t={{\log }_{2}}\left( x-\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right)$ thì ${t}'=\dfrac{1-\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}}}{x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}}.\dfrac{1}{\ln 2}$ $=\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}-1}-x}{\left( x-\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right)\sqrt{{{x}^{2}}-1}}.\dfrac{1}{\ln 2}$
$=\dfrac{-1}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}\ln 2}<0$
BBT:
Do $x>2$ $\Rightarrow t<{{\log }_{2}}\left( 2-\sqrt{3} \right)$.
Phương trình trở thành $t.{{\log }_{5}}{{2}^{t}}={{\log }_{m}}\dfrac{1}{{{2}^{t}}}$ $\Leftrightarrow t.{{\log }_{5}}2=-{{\log }_{m}}2$ $\Leftrightarrow {{\log }_{5}}m=-\dfrac{1}{t}$
Ycbt ${{\log }_{5}}m<-\dfrac{1}{{{\log }_{2}}\left( 2-\sqrt{3} \right)}$ $\Leftrightarrow m<{{5}^{-\dfrac{1}{{{\log }_{2}}\left( 2-\sqrt{3} \right)}}}$. Do $m\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ và $m\ne 1$ nên $m=2$.000000000000
Đáp án C.