Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}-1 \right).{{\log }_{4}}\left( {{2.5}^{x}}-2 \right)=m$. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên $m$ để phương trình có nghiệm thuộc đoạn $\left[ 1; {{\log }_{5}}9 \right]$ ?
A. $4$.
B. $5$.
C. $2$.
D. $3$.
A. $4$.
B. $5$.
C. $2$.
D. $3$.
Điều kiện $x>0$.
${{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}-1 \right).{{\log }_{4}}\left( {{2.5}^{x}}-2 \right)=m$ $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}-1 \right)\left[ \dfrac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}-1 \right)+\dfrac{1}{2} \right]=m \left( 1 \right)$.
Đặt $t={{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}-1 \right)$.
Ta có phương trình $\dfrac{1}{2}\left( {{t}^{2}}+t \right)=m \left( 2 \right)$.
Để phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm trên đoạn $\left[ 1; {{\log }_{5}}9 \right]$ thì phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm trên đoạn $\left[ 2; 3 \right]$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{1}{2}\left( {{t}^{2}}+t \right)$ trên đoạn $\left[ 2; 3 \right]$.
Ta có ${f}'\left( t \right)=t+\dfrac{1}{2}$ $\Rightarrow {f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{1}{2}$.
Bảng biến thiên
Suy ra phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm trên đoạn $\left[ 2; 3 \right]$ khi $3\le m\le 6$.
Vật có $4$ giá trị nguyên $m$ để phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ 1; {{\log }_{5}}9 \right]$.
${{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}-1 \right).{{\log }_{4}}\left( {{2.5}^{x}}-2 \right)=m$ $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}-1 \right)\left[ \dfrac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}-1 \right)+\dfrac{1}{2} \right]=m \left( 1 \right)$.
Đặt $t={{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}-1 \right)$.
Ta có phương trình $\dfrac{1}{2}\left( {{t}^{2}}+t \right)=m \left( 2 \right)$.
Để phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm trên đoạn $\left[ 1; {{\log }_{5}}9 \right]$ thì phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm trên đoạn $\left[ 2; 3 \right]$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{1}{2}\left( {{t}^{2}}+t \right)$ trên đoạn $\left[ 2; 3 \right]$.
Ta có ${f}'\left( t \right)=t+\dfrac{1}{2}$ $\Rightarrow {f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{1}{2}$.
Bảng biến thiên
Suy ra phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm trên đoạn $\left[ 2; 3 \right]$ khi $3\le m\le 6$.
Vật có $4$ giá trị nguyên $m$ để phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ 1; {{\log }_{5}}9 \right]$.
Đáp án A.