Cho phương trình $\log _{2}^{2}x-\left(5m+1 \right){{\log }_{2}}x+4{{m}^{2}}+m=0.$ Biết phương trình có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$...

Phương pháp:
- Đặt $t={{\log }_{2}}x,$ phương trình trở thành phương trình bậc 2 ẩn $t.$
- Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt, tìm nghiệm ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$ theo $m,$ từ đó suy ra nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ theo $m.$
- Sử dụng giả thiết ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=165$ giải phương trình tìm $m,$ từ đó tính $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|.$
Cách giải:
ĐKXĐ: $x>0.$
Đặt $t={{\log }_{2}}x,$ phương trình trở thành ${{t}^{2}}-\left(5m+1 \right)t+4{{m}^{2}}+m=0\left(* \right).$
Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) cũng phải có 2 nghiệm phân biệt
$\begin{aligned}
& \Rightarrow \Delta >0 \\
& \Rightarrow {{\left(5m+1 \right)}^{2}}-4\left(4{{m}^{2}}+m \right)>0 \\
\end{aligned}$
$\Leftrightarrow 25{{m}^{2}}+10m+1-16{{m}^{2}}-4m>0$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 9{{m}^{2}}+6m+1>0 \\
& \Leftrightarrow {{\left(3m+1 \right)}^{2}}>0 \\
\end{aligned}$
$\Leftrightarrow m\ne -\dfrac{1}{3}$
Khi đó phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt $\left[ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}=\dfrac{5m+1+3m+1}{2}=4m+1 \\
& {{t}_{2}}=\dfrac{5m+1-3m-1}{2}=m \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}={{2}^{4m+1}} \\
& {{x}_{2}}={{2}^{m}} \\
\end{aligned} \right.$
Theo bài ra ta có ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=165\Leftrightarrow {{2}^{4m+1}}+{{2}^{m}}=165\Leftrightarrow 2.{{\left({{2}^{m}} \right)}^{4}}+{{2}^{m}}=165.$
Đặt $u={{2}^{m}}>0,$ phương trình trở thành $2{{u}^{4}}+u-165=0.$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \left(u-3 \right)\left(2{{u}^{3}}+6{{u}^{2}}+18u+55 \right)=0 \\
& \Leftrightarrow u=3\left(Dou>0\Leftrightarrow 2{{u}^{3}}+6{{u}^{2}}+18u+55>0 \right) \\
\end{aligned}$
$\Rightarrow {{2}^{m}}=3.$
$\Rightarrow {{x}_{1}}=2.{{\left({{2}^{m}} \right)}^{4}}=162,{{x}_{2}}={{2}^{m}}=3.$
Vậy $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=\left| 162-3 \right|=159.$