Google
Câu hỏi: Cho phương trình $\log _{2}^{2}x-2{{\log }_{2}}x-\sqrt{m+{{\log }_{2}}x}=m.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \!\![\!\!-20;20]$ để phương trình đã cho có nghiệm $x\in (0;1).$
A. 21.
B. 4.
C. 19.
D. 20.
A. 21.
B. 4.
C. 19.
D. 20.
Phương trình $\Leftrightarrow \log _{2}^{2}x-{{\log }_{2}}x=m+{{\log }_{2}}x+\sqrt{m+{{\log }_{2}}x} (*)$
Với điều kiện $x\in (0;1)\Rightarrow -{{\log }_{2}}x>0$
Xét hàm số $f(t)={{t}^{2}}+t (t>0)$ là hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$
Do đó phương trình (*) $\Leftrightarrow f(-{{\log }_{2}}x)=f\left( \sqrt{m+{{\log }_{2}}x} \right)\Leftrightarrow -{{\log }_{2}}x=\sqrt{m+{{\log }_{2}}x}$
$\Leftrightarrow m=\log _{2}^{2}x-{{\log }_{2}}x={{u}^{2}}+u=f(u)$ (với $u=-{{\log }_{2}}x$ và u >0)
Mặt khác $\underset{u\to 0}{\mathop{\lim }} f(u)=0, \underset{u\to +\infty }{\mathop{\lim }} f(u)=+\infty $ nên phương trình có nghiệm khi m > 0
Kết hợp $m\in \mathbb{Z},m\in \left[ -20;20 \right]$ suy ra có 20 giá trị của tham số m.
Với điều kiện $x\in (0;1)\Rightarrow -{{\log }_{2}}x>0$
Xét hàm số $f(t)={{t}^{2}}+t (t>0)$ là hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$
Do đó phương trình (*) $\Leftrightarrow f(-{{\log }_{2}}x)=f\left( \sqrt{m+{{\log }_{2}}x} \right)\Leftrightarrow -{{\log }_{2}}x=\sqrt{m+{{\log }_{2}}x}$
$\Leftrightarrow m=\log _{2}^{2}x-{{\log }_{2}}x={{u}^{2}}+u=f(u)$ (với $u=-{{\log }_{2}}x$ và u >0)
Mặt khác $\underset{u\to 0}{\mathop{\lim }} f(u)=0, \underset{u\to +\infty }{\mathop{\lim }} f(u)=+\infty $ nên phương trình có nghiệm khi m > 0
Kết hợp $m\in \mathbb{Z},m\in \left[ -20;20 \right]$ suy ra có 20 giá trị của tham số m.
Đáp án D.