Cho phương trình $\left(x^{2}-3 x+m\right)^{2}+x^{2}-8 x+2 m=0$...

+ Đặt $x^{2}-3 x+m=t$ rồi biến đổi đưa về phương trình tích.
+ Từ đó sử dụng sự tương giao của hai đồ thị hàm số để biện luận số nghiệm của phương trình.
+ Phương trình $f(x)=g(x)$ có số nghiệm bằng số giao điểm của hai đồ thị hàm số $y=f(x) ; y=g(x)$.
Xét phương trình $\left(x^{2}-3 x+m\right)^{2}+x^{2}-8 x+2 m=0 \Leftrightarrow\left(x^{2}-3 x+m\right)^{2}+\left(x^{2}-3 x+m\right)-5 x+m=0$
Đặt $x^{2}-3 x+m=t \Rightarrow m=t^{2}-x^{2}+3 x$ ta có phương trình:
$t^{2}+t-5 x+t-x^{2}+3 x=0 \Leftrightarrow t^{2}-x^{2}+2 t-2 x=0 \Leftrightarrow(t-x)(t+x+2)=0$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t-x=0 \\ t+x+2=0\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x^{2}-4 x+m=0 \\ x^{2}-2 x+2+m=0\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=-x^{2}+4 x \\ m=-x^{2}+2 x-2\end{array}\right.\right.\right.$
Ta có đồ thị hàm số $y=-x^{2}+4 x$ và $y=-x^{2}+2 x-2$.

Từ đồ thị hàm số ta thấy để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì $\left\{\begin{array}{l}m<-1 \\ m \neq-5\end{array}\right.$.
Mà $m \in[-20 ; 20] ; m \in Z \Rightarrow m \in\{-20 ;-19 ; \ldots ;-6 ;-4 ;-3 ;-2\}$ nên có 18 giá trị của $m$ thỏa mãn.