Cho phương trình ${(x^2-3x+m)}^2+x^2-8x+2m=0$...

+ Đặt $x^2-3x+m=t$ rồi biến đổi đưa về phương trình tích.
+ Từ đó sử dụng sự tương giao của hai đồ thị hàm số để biện luận số nghiệm của phương trình.
+ Phương trình $f(x)=g(x)$ có số nghiệm bằng số giao điểm của hai đồ thị hàm số $y=f(x);y=g(x)$.
Xét phương trình ${(x^2-3x+m)}^2+x^2-8x+2m=0\iff {(x^2-3x+m)}^2+(x^2-3x+m)-5x+m=0$
Đặt $x^2-3x+m=t\Rightarrow m=t^2-x^2+3x$ ta có phương trình:
$t^2+t-5x+t-x^2+3x=0\iff t^2-x^2+2t-2x=0\iff (t-x)(t+x+2)=0$
$\iff [\begin{array}{l}t-x=0\\ t+x+2=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}{x}^2-4x+m=0\\ x^2-2x+2+m=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}m=-x^2+4x\\ m=-x^2+2x-2\end{array}$
Ta có đồ thị hàm số $y=-x^2+4x$ và $y=-x^2+2x-2$.

Từ đồ thị hàm số ta thấy để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì $\{\begin{array}{l}m<-1\\ m\ne -5\end{array}$.
Mà $m\in [-20;20];m\in Z\Rightarrow m\in \{-20;-19;\dots ;-6;-4;-3;-2\}$ nên có 18 giá trị của $m$ thỏa mãn.