Google
Câu hỏi: Cho phương trình $\left( \sqrt{x}+\sqrt{x-1} \right)\left( m\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}+16\sqrt[4]{{{x}^{2}}-x} \right)=1$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực phân biệt?
A. 11.
B. 9.
C. 20.
D. 4.
A. 11.
B. 9.
C. 20.
D. 4.
Điều kiện $x>1.$ Phương trình $\Leftrightarrow m\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}+16\sqrt[4]{{{x}^{2}}-x}=\sqrt{x}-\sqrt{x-1}$
$\Leftrightarrow m+\dfrac{1}{\sqrt{x}.\sqrt{x-1}}+16.\dfrac{\sqrt[4]{{{x}^{2}}-x}}{\sqrt{x}}=1-\dfrac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x}}$
$\Leftrightarrow m=-16.\sqrt[4]{\dfrac{{{x}^{2}}-x}{{{x}^{2}}}}-\dfrac{x-1}{\sqrt{x\left( x-1 \right)}}-\dfrac{1}{\sqrt{x\left( x-1 \right)}}+1\Leftrightarrow m=-16.\sqrt[4]{\dfrac{x-1}{x}}-\sqrt{\dfrac{x}{x-1}}$
Đặt $t=\sqrt[4]{\dfrac{x-1}{x}}\in \left( 0;1 \right)$, ta có $m=-16t-\dfrac{1}{{{t}^{2}}}+1.$
Xét hàm số $f\left( t \right)=-16t-\dfrac{1}{{{t}^{2}}}+1$, với $t\in \left( 0;1 \right)$ ta có ${f}'\left( t \right)=-16+\dfrac{2}{{{t}^{3}}}=0\Rightarrow t=\dfrac{1}{2}.$
Xét bảng sau:
Từ đó ta được $-16<m<-11$. Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -15;-14;-13;-12 \right\}.$
$\Leftrightarrow m+\dfrac{1}{\sqrt{x}.\sqrt{x-1}}+16.\dfrac{\sqrt[4]{{{x}^{2}}-x}}{\sqrt{x}}=1-\dfrac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x}}$
$\Leftrightarrow m=-16.\sqrt[4]{\dfrac{{{x}^{2}}-x}{{{x}^{2}}}}-\dfrac{x-1}{\sqrt{x\left( x-1 \right)}}-\dfrac{1}{\sqrt{x\left( x-1 \right)}}+1\Leftrightarrow m=-16.\sqrt[4]{\dfrac{x-1}{x}}-\sqrt{\dfrac{x}{x-1}}$
Đặt $t=\sqrt[4]{\dfrac{x-1}{x}}\in \left( 0;1 \right)$, ta có $m=-16t-\dfrac{1}{{{t}^{2}}}+1.$
Xét hàm số $f\left( t \right)=-16t-\dfrac{1}{{{t}^{2}}}+1$, với $t\in \left( 0;1 \right)$ ta có ${f}'\left( t \right)=-16+\dfrac{2}{{{t}^{3}}}=0\Rightarrow t=\dfrac{1}{2}.$
Xét bảng sau:
Đáp án D.