Cho phương trình $\left( \sqrt{x}+\sqrt{x-1} \right)\left(...

The Knowledge · 21/12/21

Câu hỏi: Cho phương trình

(\sqrt{x} + \sqrt{x - 1}) (m \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x - 1}} + 16 \sqrt[4]{x^{2} - x}) = 1.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực phân biệt?
A. 11.
B. 9.
C. 20.
D. 4.

Điều kiện

x > 1

. Phương trình

\Leftrightarrow m \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x - 1}} + 16 \sqrt[4]{x^{2} - x} = \sqrt{x} - \sqrt{x - 1}

\begin{aligned} \Leftrightarrow m + \frac{1}{\sqrt{x} . \sqrt{x - 1}} + 16. \frac{\sqrt[4]{x^{2} - x}}{\sqrt{x}} = 1 - \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}} \\ \Leftrightarrow m = - 16. \sqrt[4]{\frac{x^{2} - x}{x^{2}}} - \frac{x - 1}{\sqrt{x (x - 1)}} - \frac{1}{\sqrt{x (x - 1)}} + 1 \Leftrightarrow m = - 16. \sqrt[4]{\frac{x - 1}{x}} - \sqrt{\frac{x}{x - 1}} + 1. \end{aligned}

Đặt

t = \sqrt[4]{\frac{x - 1}{x}} \in (0; 1)

, ta có

m = - 16 t - \frac{1}{t^{2}} + 1

.
Xét hàm số

f (t) = - 16 t - \frac{1}{t^{2} + 1}

, với

t \in (0; 1)

ta có

f^{'} (t) = - 16 + \frac{2}{t^{3}} = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{2}

.
Xét bảng sau:

Từ đó ta được

- 16 < m < - 11

. Mà

m \in Z \Rightarrow m \in {- 15; - 14; - 13; - 12}

.

Đáp án D.