Google
Câu hỏi: Cho phương trình $\left( 4\log _{3}^{2}x-15{{\log }_{3}}x+9 \right)\sqrt{{{\log }_{4}}x+m}=0$ ( $m$ là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?
A. $3$.
B. $1$.
C. $2$.
D. $4$.
A. $3$.
B. $1$.
C. $2$.
D. $4$.
Xét $\left( 4\log _{3}^{2}x-15{{\log }_{3}}x+9 \right)\sqrt{{{\log }_{4}}x+m}=0$ (ĐKXĐ: $x>0$ và $x\ge {{4}^{-m}}$ )
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 4\log _{3}^{2}x-15{{\log }_{3}}x+9=0 \\
& {{\log }_{4}}x=-m \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\log }_{3}}x=3 \\
& {{\log }_{3}}x=\dfrac{3}{4} \\
& {{\log }_{4}}x=-m \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{3}^{3}} \\
& x={{3}^{\dfrac{3}{4}}} \\
& x={{4}^{-m}} \\
\end{aligned} \right.$
Để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt thì ${{3}^{\dfrac{3}{4}}}\le {{4}^{-m}}<{{3}^{3}}\Leftrightarrow {{\log }_{4}}{{3}^{\dfrac{3}{4}}}\le -m<{{\log }_{4}}{{3}^{3}}\Leftrightarrow m\in \left\{ -2;-1 \right\}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 4\log _{3}^{2}x-15{{\log }_{3}}x+9=0 \\
& {{\log }_{4}}x=-m \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\log }_{3}}x=3 \\
& {{\log }_{3}}x=\dfrac{3}{4} \\
& {{\log }_{4}}x=-m \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{3}^{3}} \\
& x={{3}^{\dfrac{3}{4}}} \\
& x={{4}^{-m}} \\
\end{aligned} \right.$
Để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt thì ${{3}^{\dfrac{3}{4}}}\le {{4}^{-m}}<{{3}^{3}}\Leftrightarrow {{\log }_{4}}{{3}^{\dfrac{3}{4}}}\le -m<{{\log }_{4}}{{3}^{3}}\Leftrightarrow m\in \left\{ -2;-1 \right\}$
Đáp án C.