Cho phương trình $\left( 2\log _{3}^{2}x-{{\log }_{3}}x-1...

Ta có điều kiện $\left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& x\ge {{\log }_{4}}m \\
\end{aligned} \right.\left( * \right)$ (với m nguyên dương).
Phương trình $\left( 2\log _{3}^{2}x-{{\log }_{3}}x-1 \right)\sqrt{{{4}^{x}}-m}=0\left( 1 \right)$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2\log _{3}^{2}x-{{\log }_{3}}x-1=0\left( 2 \right) \\
& {{4}^{x}}=m\left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3 \\
& x=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \\
& x={{\log }_{4}}m \\
\end{aligned} \right.$
+) Để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt có 2 trường hợp:
- TH1: $3>{{\log }_{4}}m\ge \dfrac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow {{4}^{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}}\le m<{{4}^{3}}$
Trường hợp này $m\in \left\{ 3;4;5;...;63 \right\}$, có 61 giá trị nguyên dương của m.
- TH2: ${{\log }_{4}}m\le 0\Leftrightarrow m\le 1\Rightarrow m=1$.Trường hợp này có 1 giá trị của m thỏa mãn.
Vậy có tất cả 62 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu.