Cho phương trình $\left( 2\log _{3}^{2}m-{{\log }_{3}}x-1...

Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& {{5}^{x}}-m\ge 0\left( m>0 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& x\ge {{\log }_{5}}m \\
\end{aligned} \right.$
$\left( 2\log _{3}^{2}x-{{\log }_{3}}x-1 \right)\sqrt{{{5}^{x}}-m}=0\underset{{}}{\mathop{{}}} (1)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2\log _{3}^{2}x-{{\log }_{3}}x-1=0 \\
& {{5}^{x}}-m=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3,x=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \\
& x={{\log }_{5}}m \\
\end{aligned} \right.$
+) Để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt có 2 trường hợp:
- TH1: $3>{{\log }_{5}}m\ge \dfrac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow {{5}^{\dfrac{1}{\sqrt{3}}}}\le m<{{5}^{3}}$
Trường hợp này $m\in \left\{ 3;4;5;...;124 \right\}$, có 122 giá trị nguyên dương của m.
- TH2: ${{\log }_{5}}m\le 0\Leftrightarrow m\le 1\Rightarrow m=1$. Trường hợp này có 1 giá trị của m thỏa mãn.
Vậy có tất cả 123 giá trị của m để thỏa mãn yêu cầu.