Cho phương trình $\left( 2\log _{2}^{2}x-3{{\log }_{2}}x-2...

The Knowledge · 13/1/22

Câu hỏi: Cho phương trình

(2 \log_{2}^{2} x - 3 \log_{2} x - 2) \sqrt{3^{x} - m} = 0

(m là tham số thực) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?
A. 79
B. 80
C. Vô số
D. 81

Điều kiện

{\begin{aligned} x > 0 \\ 3^{x} - m \geq 0 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} x > 0 \\ x \geq \log_{3} m \end{aligned}

Phương trình trở thành:

[\begin{aligned} 2 \log_{2}^{2} x - 3 \log_{3} x - 2 = 0 \\ 3^{x} - m = 0 \end{aligned} \Leftrightarrow [\begin{aligned} \log_{2} x = 2 \\ \log_{2} x = - \frac{1}{2} \\ 3^{x} - m = 0 \end{aligned} \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = 4 \\ x = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ x = \log_{3} m \end{aligned}

Yêu cầu bài toán

\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} \leq \log_{3} m \leq 4 \Leftrightarrow 3^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \leq m \leq 81 \Leftrightarrow 2, 17 \leq m \leq 81

Kết hợp với

m \in Z

, ta được 79 giá trị nguyên m cần tìm.

Đáp án A.