Google
Câu hỏi: Cho phương trình $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-6x+1.$ Số nghiệm thực của phương trình $\sqrt{f\left( f\left( x \right)+1 \right)+1}=f\left( x \right)+2$ là
A. 4.
B. 6.
C. 7.
D. 9.
A. 4.
B. 6.
C. 7.
D. 9.
Đặt $t=f\left( x \right)+1\Rightarrow t={{x}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}}-6\text{x}+2$.
Ta có $\sqrt{f\left( t \right)+1}=t+1\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t\ge -1 \\
& f\left( t \right)+1={{\left( t+1 \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t\ge -1 \\
& \left( {{t}^{3}}-3{{t}^{2}}-6t+1 \right)+1={{t}^{2}}+2t+1 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t\ge -1 \\
& {{t}^{3}}-4{{t}^{2}}-8t+1=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& t={{t}_{1}}\approx 5,44 \\
& t={{t}_{2}}\approx 0,12 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)={{t}_{1}}-1\approx 4,44 \\
& f\left( x \right)={{t}_{2}}-1\approx -0,88 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có ${f}'\left( x \right)=3{{\text{x}}^{2}}-6\text{x}-6=0\Rightarrow x=1\pm \sqrt{3}$.
Xét bảng sau:
Tính $f\left( 1-\sqrt{3} \right)=6\sqrt{3}-6\approx 4,39;\text{ f}\left( 1+\sqrt{3} \right)=-6-\sqrt{6}\approx -16,39$.
Từ đó $f\left( x \right)={{t}_{1}}-1$ có đúng 1 nghiệm và $f\left( x \right)={{t}_{2}}-1$ có đúng 3 nghiệm phân biệt (khác nghiệm nói trên).
Ta có $\sqrt{f\left( t \right)+1}=t+1\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t\ge -1 \\
& f\left( t \right)+1={{\left( t+1 \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t\ge -1 \\
& \left( {{t}^{3}}-3{{t}^{2}}-6t+1 \right)+1={{t}^{2}}+2t+1 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t\ge -1 \\
& {{t}^{3}}-4{{t}^{2}}-8t+1=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& t={{t}_{1}}\approx 5,44 \\
& t={{t}_{2}}\approx 0,12 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)={{t}_{1}}-1\approx 4,44 \\
& f\left( x \right)={{t}_{2}}-1\approx -0,88 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có ${f}'\left( x \right)=3{{\text{x}}^{2}}-6\text{x}-6=0\Rightarrow x=1\pm \sqrt{3}$.
Xét bảng sau:
Tính $f\left( 1-\sqrt{3} \right)=6\sqrt{3}-6\approx 4,39;\text{ f}\left( 1+\sqrt{3} \right)=-6-\sqrt{6}\approx -16,39$.
Từ đó $f\left( x \right)={{t}_{1}}-1$ có đúng 1 nghiệm và $f\left( x \right)={{t}_{2}}-1$ có đúng 3 nghiệm phân biệt (khác nghiệm nói trên).
Đáp án A.