Cho phương trình: ${{e}^{3m}}+{{e}^{m}}=2\left(...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Cho phương trình:

e^{3 m} + e^{m} = 2 (x + \sqrt{1 - x^{2}}) (1 + x \sqrt{1 - x^{2}})

. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm.
A.

[\frac{1}{2} \ln 2; + \infty) .

B.

(0; \frac{1}{2} \ln 2) .

C.

(- \infty; \frac{1}{2} \ln 2] .

D.

(0; \frac{1}{e}) .

Điều kiện:

1 - x^{2} \geq 0 \Leftrightarrow - 1 \leq x \leq 1

.
Đặt

x + \sqrt{1 - x^{2}} = t \Rightarrow t^{2} = x^{2} + 1 - x^{2} + 2 x \sqrt{1 - x^{2}} = 1 + 2 x \sqrt{1 - x^{2}} \Rightarrow x \sqrt{1 - x^{2}} = \frac{t^{2} - 1}{2}

.
Ta có:

t (x) = x + \sqrt{1 - x^{2}}, x \in [- 1; 1]

.

\Rightarrow t^{'} (x) = 1 - \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{\sqrt{1 - x^{2}} - x}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{1 - x^{2}} = x \Leftrightarrow {\begin{aligned} x \geq 0 \\ 1 - x^{2} = x^{2} \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} x \geq 0 \\ x^{2} = \frac{1}{2} \end{aligned} \Leftrightarrow x = \frac{\sqrt{2}}{2} .

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

t \in [- 1; \sqrt{2}]

.
Khi đó phương trình trở thành:

e^{m} + e^{3 m} = 2 t (1 + \frac{t^{2} - 1}{2}) = t (t^{2} + 1) = t^{3} + t (*)

.
Xét hàm số

f (t) = t^{3} + t

ta có

f^{'} (t) = 3 t^{2} + 1 > 0, \forall t \Rightarrow

Hàm số đồng biến trên

R \Rightarrow

Hàm số đồng biến trên

(- 1; \sqrt{2})

.
Từ

(*) \Rightarrow f (e^{m}) = f (t) \Leftrightarrow e^{m} = t \Leftrightarrow m = \ln t \Rightarrow m \in (0; \ln \sqrt{2}) = (0; \frac{1}{2} \ln 2) .

Đáp án B.