Google
Câu hỏi: Cho phương trình: ${{e}^{3m}}+{{e}^{m}}=2\left( x+\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)\left( 1+x\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm.
A. $\left[ \dfrac{1}{2}\ln 2;+\infty \right).$
B. $\left( 0;\dfrac{1}{2}\ln 2 \right).$
C. $\left( -\infty ;\dfrac{1}{2}\ln 2 \right].$
D. $\left( 0;\dfrac{1}{e} \right).$
A. $\left[ \dfrac{1}{2}\ln 2;+\infty \right).$
B. $\left( 0;\dfrac{1}{2}\ln 2 \right).$
C. $\left( -\infty ;\dfrac{1}{2}\ln 2 \right].$
D. $\left( 0;\dfrac{1}{e} \right).$
Điều kiện: $1-{{x}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow -1\le x\le 1$.
Đặt $x+\sqrt{1-{{x}^{2}}}=t\Rightarrow {{t}^{2}}={{x}^{2}}+1-{{x}^{2}}+2x\sqrt{1-{{x}^{2}}}=1+2x\sqrt{1-{{x}^{2}}}\Rightarrow x\sqrt{1-{{x}^{2}}}=\dfrac{{{t}^{2}}-1}{2}$.
Ta có: $t\left( x \right)=x+\sqrt{1-{{x}^{2}}},x\in \left[ -1;1 \right]$.
$\Rightarrow t'\left( x \right)=1-\dfrac{x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{1-{{x}^{2}}}-x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}=0\Leftrightarrow \sqrt{1-{{x}^{2}}}=x\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge 0 \\
& 1-{{x}^{2}}={{x}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge 0 \\
& {{x}^{2}}=\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có: $t\in \left[ -1;\sqrt{2} \right]$.
Khi đó phương trình trở thành: ${{e}^{m}}+{{e}^{3m}}=2t\left( 1+\dfrac{{{t}^{2}}-1}{2} \right)=t\left( {{t}^{2}}+1 \right)={{t}^{3}}+t\ \ \ \left( * \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+t$ ta có $f'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+1>0,\forall t\Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên $\left( -1;\sqrt{2} \right)$.
Từ $\left( * \right)\Rightarrow f\left( {{e}^{m}} \right)=f\left( t \right)\Leftrightarrow {{e}^{m}}=t\Leftrightarrow m=\ln t\Rightarrow m\in \left( 0;\ln \sqrt{2} \right)=\left( 0;\dfrac{1}{2}\ln 2 \right).$
Đặt $x+\sqrt{1-{{x}^{2}}}=t\Rightarrow {{t}^{2}}={{x}^{2}}+1-{{x}^{2}}+2x\sqrt{1-{{x}^{2}}}=1+2x\sqrt{1-{{x}^{2}}}\Rightarrow x\sqrt{1-{{x}^{2}}}=\dfrac{{{t}^{2}}-1}{2}$.
Ta có: $t\left( x \right)=x+\sqrt{1-{{x}^{2}}},x\in \left[ -1;1 \right]$.
$\Rightarrow t'\left( x \right)=1-\dfrac{x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{1-{{x}^{2}}}-x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}=0\Leftrightarrow \sqrt{1-{{x}^{2}}}=x\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge 0 \\
& 1-{{x}^{2}}={{x}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge 0 \\
& {{x}^{2}}=\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có: $t\in \left[ -1;\sqrt{2} \right]$.
Khi đó phương trình trở thành: ${{e}^{m}}+{{e}^{3m}}=2t\left( 1+\dfrac{{{t}^{2}}-1}{2} \right)=t\left( {{t}^{2}}+1 \right)={{t}^{3}}+t\ \ \ \left( * \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+t$ ta có $f'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+1>0,\forall t\Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên $\left( -1;\sqrt{2} \right)$.
Từ $\left( * \right)\Rightarrow f\left( {{e}^{m}} \right)=f\left( t \right)\Leftrightarrow {{e}^{m}}=t\Leftrightarrow m=\ln t\Rightarrow m\in \left( 0;\ln \sqrt{2} \right)=\left( 0;\dfrac{1}{2}\ln 2 \right).$
Đáp án B.