Google
Câu hỏi: Cho phương trình đường thẳng $\left( d \right):\dfrac{x}{4}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-3}{1}$ và đường thẳng $\left( {{d}'} \right):x+1=y=z+1$. Mặt cầu có bán kính lớn nhất thỏa mãn tâm I nằm trên (d'), đi qua $A\left( 3;2;2 \right)$ và tiếp xúc với đường thẳng d có phương trình
A. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=9.$
B. ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=1.$
C. ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=9.$
D. ${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=9.$
A. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=9.$
B. ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=1.$
C. ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=9.$
D. ${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=9.$
Gọi tâm $I\left( t+1;t;t+1 \right).$
Khi đó $\overrightarrow{AI}=\left( t-2;t-2;t-1 \right),AI=\sqrt{3{{t}^{2}}-10t+9}.$
Lấy $N\left( 0;2;3 \right)\in d,\overrightarrow{NI}=\left( t+1,t-2,t-2 \right).$
Ta có $d\left( I,d \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{NI},\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}=\dfrac{\left| 3t-9 \right|\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=\left| t-3 \right|.$
Có $d\left( I,d \right)=AI\Leftrightarrow \left| t-3 \right|=\sqrt{3{{t}^{2}}-10t+9}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=0 \\
& t=2 \\
\end{aligned} \right..$
Do bán kính lớn nhất nên chọn $t=0.$ Khi đó phương trình mặt cầu là ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=9.$
Khi đó $\overrightarrow{AI}=\left( t-2;t-2;t-1 \right),AI=\sqrt{3{{t}^{2}}-10t+9}.$
Lấy $N\left( 0;2;3 \right)\in d,\overrightarrow{NI}=\left( t+1,t-2,t-2 \right).$
Ta có $d\left( I,d \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{NI},\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}=\dfrac{\left| 3t-9 \right|\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=\left| t-3 \right|.$
Có $d\left( I,d \right)=AI\Leftrightarrow \left| t-3 \right|=\sqrt{3{{t}^{2}}-10t+9}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=0 \\
& t=2 \\
\end{aligned} \right..$
Do bán kính lớn nhất nên chọn $t=0.$ Khi đó phương trình mặt cầu là ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=9.$
Đáp án A.