Google
Câu hỏi: Cho phương trình bậc hai ${{z}^{2}}-2\left( m+1 \right)z+2{{m}^{2}}-7=0, m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị của $m$ sao cho phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{z}_{1}}.\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}.{{z}_{2}}=22$.
A. $1$.
B. $2$.
C. $3$.
D. $4$.
A. $1$.
B. $2$.
C. $3$.
D. $4$.
Ta có: ${{z}^{2}}-2\left( m+1 \right)z+2{{m}^{2}}-7=0$
${\Delta }'={{\left( m+1 \right)}^{2}}-2{{m}^{2}}+7=-{{m}^{2}}+2m+8$
TH1: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow -{{m}^{2}}+2m+8>0\Leftrightarrow -2<m<4$
Phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt $\Rightarrow \overline{{{z}_{1}}}={{z}_{1}};\overline{{{z}_{2}}}={{z}_{2}}$
$\begin{aligned}
& {{z}_{1}}.\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}.{{z}_{2}}=22\Leftrightarrow {{z}_{1}}.{{z}_{2}}+{{z}_{1}}.{{z}_{2}}=22\Leftrightarrow 2{{z}_{1}}{{z}_{2}}=22 \\
& \Leftrightarrow 2\left( 2{{m}^{2}}-7 \right)=22\Leftrightarrow {{m}^{2}}=9\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-3 (L) \\
& m=3 (TM) \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
TH2: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow -{{m}^{2}}+2m+8<0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m<-2 \\
& m>4 \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình có hai nghiệm ảo phân biệt $\Rightarrow \overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}};\overline{{{z}_{2}}}={{z}_{1}}$
$\begin{aligned}
& {{z}_{1}}.\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}.{{z}_{2}}=22\Leftrightarrow {{z}_{1}}^{2}+{{z}_{2}}^{2}=22\Leftrightarrow {{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}=22 \\
& \Leftrightarrow 4{{\left( m+1 \right)}^{2}}-2\left( 2{{m}^{2}}-7 \right)=22\Leftrightarrow 8m+18=22\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2} \left( L \right) \\
\end{aligned}$
Vậy với $m=3$ thì phương trình có hai nghiệm thỏa mãn YCBT.
${\Delta }'={{\left( m+1 \right)}^{2}}-2{{m}^{2}}+7=-{{m}^{2}}+2m+8$
TH1: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow -{{m}^{2}}+2m+8>0\Leftrightarrow -2<m<4$
Phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt $\Rightarrow \overline{{{z}_{1}}}={{z}_{1}};\overline{{{z}_{2}}}={{z}_{2}}$
$\begin{aligned}
& {{z}_{1}}.\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}.{{z}_{2}}=22\Leftrightarrow {{z}_{1}}.{{z}_{2}}+{{z}_{1}}.{{z}_{2}}=22\Leftrightarrow 2{{z}_{1}}{{z}_{2}}=22 \\
& \Leftrightarrow 2\left( 2{{m}^{2}}-7 \right)=22\Leftrightarrow {{m}^{2}}=9\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-3 (L) \\
& m=3 (TM) \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
TH2: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow -{{m}^{2}}+2m+8<0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m<-2 \\
& m>4 \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình có hai nghiệm ảo phân biệt $\Rightarrow \overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}};\overline{{{z}_{2}}}={{z}_{1}}$
$\begin{aligned}
& {{z}_{1}}.\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}.{{z}_{2}}=22\Leftrightarrow {{z}_{1}}^{2}+{{z}_{2}}^{2}=22\Leftrightarrow {{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}=22 \\
& \Leftrightarrow 4{{\left( m+1 \right)}^{2}}-2\left( 2{{m}^{2}}-7 \right)=22\Leftrightarrow 8m+18=22\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2} \left( L \right) \\
\end{aligned}$
Vậy với $m=3$ thì phương trình có hai nghiệm thỏa mãn YCBT.
Đáp án A.