Cho phương trình $a\log _{2}^{2}x-4{{\log...

Phương trình $\log _{2}^{2}x-4{{\log }_{2}}x-{{m}^{2}}-2m+3=0$
Điều kiện xác định: $x>0$
Đặt $t={{\log }_{2}}x, \left( t\in \mathbb{R} \right)$
Phương trình trở thành: ${{t}^{2}}-4t-{{m}^{2}}-2m+3=0$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a\ne 0 \\
& \Delta >0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1\ne 0 \\
& {{\left( m+1 \right)}^{2}}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\ne -1$
Theo định lí Vi-ét ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=4 \\
& {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=-{{m}^{2}}-2m+3 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}={{\log }_{2}}{{x}_{1}} \\
& {{t}_{2}}={{\log }_{2}}{{x}_{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}={{2}^{{{t}_{1}}}} \\
& {{x}_{2}}={{2}^{{{t}_{2}}}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=68\Leftrightarrow {{4}^{{{t}_{1}}}}+{{4}^{{{t}_{2}}}}=68$
Giải hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=4 \\
& {{4}^{{{t}_{1}}}}+{{4}^{{{t}_{2}}}}=68 \\
& {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=-{{m}^{2}}-2m+3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{2}}=4-{{t}_{1}} \\
& {{4}^{{{t}_{1}}}}+{{4}^{{{t}_{2}}}}=68 \\
& {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=-{{m}^{2}}-2m+3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}=3 \\
& {{t}_{2}}=1 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}=1 \\
& {{t}_{2}}=3 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right. \\
& {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=-{{m}^{2}}-2m+3 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=-2 \\
\end{aligned} \right.$