Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{9}^{x}}-\left( 2m+3 \right){{.3}^{x}}+81=0$ (m là tham số thực). Giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=10$ thuộc khoảng nào sau đây?
A. $\left( 5;10 \right).$
B. $\left( 0;5 \right).$
C. $\left( 10;15 \right).$
D. $\left( 15;+\infty \right).$
A. $\left( 5;10 \right).$
B. $\left( 0;5 \right).$
C. $\left( 10;15 \right).$
D. $\left( 15;+\infty \right).$
Đặt ${{3}^{x}}=t>0.$ Phương trình trở thành ${{t}^{2}}-\left( 2m+3 \right).t+81=0\left( * \right)$
+) PT đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi PT(*) có 2 nghiệm dương phân biệt
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta >0 \\
& -\dfrac{b}{a}>0 \\
& \dfrac{c}{a}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( 2m+3 \right)}^{2}}-4.81>0 \\
& 2m+3>0 \\
& 81>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>\dfrac{15}{2}.$
+) Theo Vi-ét có $\left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=2m+3 \\
& {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=81 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{{{x}_{1}}}}+{{3}^{{{x}_{2}}}}=2m+3 \left( 1 \right) \\
& {{3}^{{{x}_{1}}}}{{.3}^{{{x}_{2}}}}=81 \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
+) PT đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi PT(*) có 2 nghiệm dương phân biệt
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta >0 \\
& -\dfrac{b}{a}>0 \\
& \dfrac{c}{a}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( 2m+3 \right)}^{2}}-4.81>0 \\
& 2m+3>0 \\
& 81>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>\dfrac{15}{2}.$
+) Theo Vi-ét có $\left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=2m+3 \\
& {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=81 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{{{x}_{1}}}}+{{3}^{{{x}_{2}}}}=2m+3 \left( 1 \right) \\
& {{3}^{{{x}_{1}}}}{{.3}^{{{x}_{2}}}}=81 \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Đáp án C.