Cho phương trình ${{9}^{x}}+{{3}^{x+1}}+2m=\left( {{3}^{x+1}}+1...

Ta đặt ${{3}^{x}}=t>0$ suy ra ${{t}^{2}}+3t+2m=\left( 3t+1 \right)\sqrt{t+m}$. Ta đặt $\sqrt{t+m}=y$.
Khi đó: $2{{y}^{2}}-\left( 3t+1 \right)y+\left( {{t}^{2}}+t \right)=0$
Ta có $\Delta ={{\left( t-1 \right)}^{2}}\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& y=\dfrac{3t+1+t-1}{4} \\
& y=\dfrac{3t+1-\left( t-1 \right)}{4} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=\sqrt{t+m} \\
& t+1=2\sqrt{t+m} \\
\end{aligned} \right.$
Do đó $\left[ \begin{aligned}
& 4m=4{{t}^{2}}-4t=f\left( t \right) \left( t>0 \right) \\
& 4m={{t}^{2}}-2t+1=g\left( t \right) \left( t>0 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Và có đồ thị như hình bên.
Từ đây ta suy ra để có 2 nghiệm phân biệt thì điều kiện cần và đủ là $\left[ \begin{aligned}
& 4m\ge 1 \\
& -1<4m<0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 1\le 4m\le 80$