Google
Câu hỏi: Cho phương trình: ${{8}^{x}}+3x{{.4}^{x}}+\left( 3{{x}^{2}}+1 \right){{.2}^{x}}=\left( {{m}^{3}}-1 \right){{x}^{3}}+\left( m-1 \right)x$ có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc $\left( 0;10 \right)$.
A. 100
B. 101
C. 102
D. 103
A. 100
B. 101
C. 102
D. 103
Phương trình tương đương với: ${{8}^{x}}+3x{{.4}^{x}}+3{{x}^{2}}{{.2}^{x}}+{{2}^{x}}={{m}^{3}}{{x}^{3}}-{{x}^{3}}+mx-x$
${{8}^{x}}+3x{{.4}^{x}}+3{{x}^{2}}{{.2}^{x}}++{{x}^{3}}+{{2}^{x}}+x={{m}^{3}}{{x}^{3}}+mx$
$\left[ {{\left( {{2}^{x}} \right)}^{3}}+3.{{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}.x+{{3.2}^{x}}.{{x}^{2}}+{{x}^{3}} \right]+{{2}^{x}}+x={{m}^{3}}{{x}^{3}}+mx$
$\Leftrightarrow {{\left( {{2}^{x}}+x \right)}^{3}}+\left( {{2}^{x}}+x \right)={{m}^{3}}{{x}^{3}}+mx$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+t,{f}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+1>0,\forall t\in \mathbb{R}$
Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ ; nhận thấy $f\left( {{2}^{x}}+x \right)=f\left( mx \right)\Rightarrow {{2}^{x}}+x=mx$ là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ta có: ${{2}^{x}}+x=mx\Leftrightarrow m=\dfrac{{{2}^{x}}}{x}+1$ (vì $x=0$ không là nghiệm của phương trình).
Bài toán trở thành tìm m để phương trình $m=\dfrac{{{2}^{x}}}{x}-1$ có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc (0;10).
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{{{2}^{x}}}{x}+1,\forall x\ne 0\Rightarrow {f}'\left( x \right)=\dfrac{{{2}^{x}}\left( x\ln 2-1 \right)}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{\ln 2}\in \left( 0;10 \right)$
Ta có bảng biến thiên:
Nhìn vào bảng biến thiên, suy ra: $e\ln 2+1<m<\dfrac{517}{5}\xrightarrow{m\in \mathbb{Z}}m\in \left\{ 3;4;...;102;103 \right\}$
Vậy có 101 giá trị nguyên m thỏa mãn đề bài.
${{8}^{x}}+3x{{.4}^{x}}+3{{x}^{2}}{{.2}^{x}}++{{x}^{3}}+{{2}^{x}}+x={{m}^{3}}{{x}^{3}}+mx$
$\left[ {{\left( {{2}^{x}} \right)}^{3}}+3.{{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}.x+{{3.2}^{x}}.{{x}^{2}}+{{x}^{3}} \right]+{{2}^{x}}+x={{m}^{3}}{{x}^{3}}+mx$
$\Leftrightarrow {{\left( {{2}^{x}}+x \right)}^{3}}+\left( {{2}^{x}}+x \right)={{m}^{3}}{{x}^{3}}+mx$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+t,{f}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+1>0,\forall t\in \mathbb{R}$
Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ ; nhận thấy $f\left( {{2}^{x}}+x \right)=f\left( mx \right)\Rightarrow {{2}^{x}}+x=mx$ là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ta có: ${{2}^{x}}+x=mx\Leftrightarrow m=\dfrac{{{2}^{x}}}{x}+1$ (vì $x=0$ không là nghiệm của phương trình).
Bài toán trở thành tìm m để phương trình $m=\dfrac{{{2}^{x}}}{x}-1$ có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc (0;10).
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{{{2}^{x}}}{x}+1,\forall x\ne 0\Rightarrow {f}'\left( x \right)=\dfrac{{{2}^{x}}\left( x\ln 2-1 \right)}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{\ln 2}\in \left( 0;10 \right)$
Ta có bảng biến thiên:
Nhìn vào bảng biến thiên, suy ra: $e\ln 2+1<m<\dfrac{517}{5}\xrightarrow{m\in \mathbb{Z}}m\in \left\{ 3;4;...;102;103 \right\}$
Vậy có 101 giá trị nguyên m thỏa mãn đề bài.
Đáp án B.