Cho phương trình: ${{8}^{x}}+3x{{.4}^{x}}+\left( 3{{x}^{2}}+1...

Phương trình tương đương với: $8^x+3x{.4}^x+3x^2{.2}^x+2^x=m^3{x}^3-x^3+mx-x$
$8^x+3x{.4}^x+3x^2{.2}^x++x^3+2^x+x=m^3{x}^3+mx$
$[{\left(2^x\right)}^3+3.{\left(2^x\right)}^2.x+{3.2}^x.x^2+x^3]+2^x+x=m^3{x}^3+mx$
$\iff {(2^x+x)}^3+(2^x+x)=m^3{x}^3+mx$
Xét hàm số $f\left(t\right)=t^3+t,f^{\prime }\left(t\right)=3t^2+1>0,\mathrm{\forall }t\in \mathbb{R}$
Suy ra hàm số $f\left(t\right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ ; nhận thấy $f(2^x+x)=f\left(mx\right)\Rightarrow 2^x+x=mx$ là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ta có: $2^x+x=mx\iff m={\displaystyle \frac{2^x}{x}}+1$ (vì $x=0$ không là nghiệm của phương trình).
Bài toán trở thành tìm m để phương trình $m={\displaystyle \frac{2^x}{x}}-1$ có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc (0;10).
Xét hàm số $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2^x}{x}}+1,\mathrm{\forall }x\ne 0\Rightarrow f^{\prime }\left(x\right)={\displaystyle \frac{2^x(x\ln 2-1)}{x^2}}=0\iff x={\displaystyle \frac{1}{\ln 2}}\in (0;10)$
Ta có bảng biến thiên:

Nhìn vào bảng biến thiên, suy ra: $e\ln 2+1<m<{\displaystyle \frac{517}{5}}\stackrel{m\in \mathbb{Z}}{\to }m\in \{3;4;...;102;103\}$
Vậy có 101 giá trị nguyên m thỏa mãn đề bài.