Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{5}^{x}}+m={{\log }_{5}}\left( x-m \right)$ với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in \left( -20;20 \right)$ để phương trình đã cho có nghiệm?
A. 20.
B. 19.
C. 9.
D. 21.
A. 20.
B. 19.
C. 9.
D. 21.
Điều kiện: $x>m$.
Ta có:
${{5}^{x}}+m={{\log }_{5}}\left( x-m \right)\Leftrightarrow {{5}^{x}}+x=x-m+{{\log }_{5}}\left( x-m \right)\Leftrightarrow {{5}^{x}}+x={{5}^{{{\log }_{5}}\left( x-m \right)}}+{{\log }_{5}}\left( x-m \right)\left( 1 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{5}^{t}}+t,{f}'\left( t \right)={{5}^{t}}\ln 5+1>0,\forall t\in \mathbb{R}$, do đó từ (1) suy ra $x={{\log }_{5}}\left( x-m \right)\Leftrightarrow m=x-{{5}^{x}}$. Xét hàm số $g\left( x \right)=x-{{5}^{x}},{g}'\left( x \right)=1-{{5}^{x}}.\ln 5$
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x={{\log }_{5}}\dfrac{1}{\ln 5}=-{{\log }_{5}}\ln 5={{x}_{0}}$.
Bảng biến thiên:
Do đó để phương trình có nghiệm thì $m\le g\left( {{x}_{0}} \right)\approx -0,92$.
Các giá trị nguyên của $m\in \left( -20;20 \right)$ là $\left\{ -19;-18;...;-1 \right\}$ có 19 giá trị $m$ thỏa mãn.
Ta có:
${{5}^{x}}+m={{\log }_{5}}\left( x-m \right)\Leftrightarrow {{5}^{x}}+x=x-m+{{\log }_{5}}\left( x-m \right)\Leftrightarrow {{5}^{x}}+x={{5}^{{{\log }_{5}}\left( x-m \right)}}+{{\log }_{5}}\left( x-m \right)\left( 1 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{5}^{t}}+t,{f}'\left( t \right)={{5}^{t}}\ln 5+1>0,\forall t\in \mathbb{R}$, do đó từ (1) suy ra $x={{\log }_{5}}\left( x-m \right)\Leftrightarrow m=x-{{5}^{x}}$. Xét hàm số $g\left( x \right)=x-{{5}^{x}},{g}'\left( x \right)=1-{{5}^{x}}.\ln 5$
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x={{\log }_{5}}\dfrac{1}{\ln 5}=-{{\log }_{5}}\ln 5={{x}_{0}}$.
Bảng biến thiên:
Các giá trị nguyên của $m\in \left( -20;20 \right)$ là $\left\{ -19;-18;...;-1 \right\}$ có 19 giá trị $m$ thỏa mãn.
Đáp án B.