Cho phương trình ${{5}^{x}}+m={{\log }_{5}}\left( x-m \right)$ với $m$ là tham số. Số giá trị nguyên của $m\in \left( -2020;2020 \right)$ để...

Điều kiện: $x>m$
Đặt: $t={{\log }_{5}}\left( x-m \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x-m={{5}^{t}} \\
& {{5}^{x}}+m=t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{5}^{x}}+x={{5}^{t}}+t $ $ \left( 1 \right)$.
Xét hàm số $f\left( u \right)={{5}^{u}}+u\Rightarrow {f}'\left( u \right)={{5}^{u}}\ln 5+1>0, \forall u\in \mathbb{R}$.
Do đó: $\left( 1 \right)\Leftrightarrow x=t\Leftrightarrow x={{5}^{x}}+m\Leftrightarrow m=x-{{5}^{x}}$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=x-{{5}^{x}}$, $x>m$
Do: ${{5}^{x}}>0\Rightarrow m<x$, suy ra phương trình có nghiệm luôn thỏa điều kiện.
${f}'\left( x \right)=1-{{5}^{x}}\ln 5$, ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 1-{{5}^{x}}\ln 5=0\Leftrightarrow x={{\log }_{5}}\left( \dfrac{1}{\ln 5} \right)$.
Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên $\Rightarrow m\le \approx -0,917\xrightarrow{m\in \left( -2020; 2020 \right)}m=\left\{ -2019; -2018; ...; -1 \right\}$.
Vậy có 2019 giá trị nguyên của $m$ thỏa ycbt.