Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{4}^{-x}}+x-{{\log }_{4}}\left( m-x \right)-2m-\dfrac{1}{2}=0$ ( $m$ là tham số). Số giá trị nguyên của $m$ để phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn $\left[ -2 ; 2 \right]$ là
A. $3$.
B. $6$.
C. $5$.
D. vô số.
A. $3$.
B. $6$.
C. $5$.
D. vô số.
Đặt ${{\log }_{4}}\left( m-x \right)=t\Leftrightarrow m-x={{4}^{t}}\Leftrightarrow m=x+{{4}^{t}}$.
Phương trình đã cho trở thành ${{4}^{-x}}+x-t-2\left( x+{{4}^{t}} \right)-\dfrac{1}{2}=0$ $\Leftrightarrow {{2}^{-2x}}-x={{2}^{2t+1}}+t+\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow {{2}^{-2x}}+\dfrac{1}{2}\left( -2x \right)={{2}^{2t+1}}+\dfrac{1}{2}\left( 2t+1 \right) \left( 1 \right)$
Xét hàm số $g\left( a \right)={{2}^{a}}+\dfrac{1}{2}a$ có ${g}'\left( a \right)={{2}^{a}}\ln 2+\dfrac{1}{2}>0, \forall a\in \mathbb{R}$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Do đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow g\left( -2x \right)=g\left( 2t+1 \right)\Leftrightarrow -2x=2t+1$ $\Leftrightarrow 2t=-2x-1\Leftrightarrow 2{{\log }_{4}}\left( m-x \right)=-2x-1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( m-x \right)=-2x-1\Leftrightarrow m-x={{2}^{-2x-1}}$ $\Leftrightarrow m=x+{{2}^{-2x-1}} \left( * \right)$
Xét hàm số $h\left( x \right)=x+{{2}^{-2x-1}}$ có ${h}'\left( x \right)=1-{{2.2}^{-2x-1}}\ln 2=1-{{2}^{-2x}}\ln 2$.
${h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{2}^{-2x}}\ln 2=1\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right)$.
Trên đoạn $\left[ -2 ; 2 \right]$ ta có bảng biến thiên của $h\left( x \right)$ :
Phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm $x\in \left[ -2;2 \right]$ $\Leftrightarrow m\in \left\{ 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 \right\}$.
Vậy có $6$ giá trị $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Phương trình đã cho trở thành ${{4}^{-x}}+x-t-2\left( x+{{4}^{t}} \right)-\dfrac{1}{2}=0$ $\Leftrightarrow {{2}^{-2x}}-x={{2}^{2t+1}}+t+\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow {{2}^{-2x}}+\dfrac{1}{2}\left( -2x \right)={{2}^{2t+1}}+\dfrac{1}{2}\left( 2t+1 \right) \left( 1 \right)$
Xét hàm số $g\left( a \right)={{2}^{a}}+\dfrac{1}{2}a$ có ${g}'\left( a \right)={{2}^{a}}\ln 2+\dfrac{1}{2}>0, \forall a\in \mathbb{R}$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Do đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow g\left( -2x \right)=g\left( 2t+1 \right)\Leftrightarrow -2x=2t+1$ $\Leftrightarrow 2t=-2x-1\Leftrightarrow 2{{\log }_{4}}\left( m-x \right)=-2x-1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( m-x \right)=-2x-1\Leftrightarrow m-x={{2}^{-2x-1}}$ $\Leftrightarrow m=x+{{2}^{-2x-1}} \left( * \right)$
Xét hàm số $h\left( x \right)=x+{{2}^{-2x-1}}$ có ${h}'\left( x \right)=1-{{2.2}^{-2x-1}}\ln 2=1-{{2}^{-2x}}\ln 2$.
${h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{2}^{-2x}}\ln 2=1\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right)$.
Trên đoạn $\left[ -2 ; 2 \right]$ ta có bảng biến thiên của $h\left( x \right)$ :
Vậy có $6$ giá trị $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án B.