Cho phương trình ${{4}^{-x}}+x-{{\log }_{4}}\left( m-x...

Đặt ${\log }_4(m-x)=t\iff m-x=4^t\iff m=x+4^t$.
Phương trình đã cho trở thành $4^{-x}+x-t-2(x+4^t)-{\displaystyle \frac{1}{2}}=0$ $\iff 2^{-2x}-x=2^{2t+1}+t+{\displaystyle \frac{1}{2}}$
$\iff 2^{-2x}+{\displaystyle \frac{1}{2}}(-2x)=2^{2t+1}+{\displaystyle \frac{1}{2}}(2t+1)\left(1\right)$
Xét hàm số $g\left(a\right)=2^a+{\displaystyle \frac{1}{2}}a$ có $g^{\prime }\left(a\right)=2^a\ln 2+{\displaystyle \frac{1}{2}}>0,\mathrm{\forall }a\in \mathbb{R}$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Do đó $\left(1\right)\iff g(-2x)=g(2t+1)\iff -2x=2t+1$ $\iff 2t=-2x-1\iff 2{\log }_4(m-x)=-2x-1$
$\iff {\log }_2(m-x)=-2x-1\iff m-x=2^{-2x-1}$ $\iff m=x+2^{-2x-1}(\ast )$
Xét hàm số $h\left(x\right)=x+2^{-2x-1}$ có $h^{\prime }\left(x\right)=1-{2.2}^{-2x-1}\ln 2=1-2^{-2x}\ln 2$.
$h^{\prime }\left(x\right)=0\iff 2^{-2x}\ln 2=1\iff x={\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_2(\ln 2)$.
Trên đoạn $[-2;2]$ ta có bảng biến thiên của $h\left(x\right)$ :
Phương trình $(\ast )$ có nghiệm $x\in [-2;2]$ $\iff m\in \{1;2;3;4;5;6\}$.
Vậy có $6$ giá trị $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.