Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{4}^{x+1}}+{{4}^{1-x}}-\left( m+1 \right)\left( {{2}^{2+x}}-{{2}^{2-x}} \right)+8m-16=0$ ( $m$ là tham số thực). Tìm tất cả giá trị của tham số $m$ để phương trình đã cho có nghiệm trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$.
A. $\left[ 0;\dfrac{3}{2} \right]$.
B. $\left[ 1;\left. \dfrac{5}{2} \right) \right.$.
C. $\left[ \dfrac{3}{2};+\left. \infty \right) \right.$.
D. $\left[ 1;\dfrac{5}{2} \right]$.
A. $\left[ 0;\dfrac{3}{2} \right]$.
B. $\left[ 1;\left. \dfrac{5}{2} \right) \right.$.
C. $\left[ \dfrac{3}{2};+\left. \infty \right) \right.$.
D. $\left[ 1;\dfrac{5}{2} \right]$.
Phương trình ${{4}^{x+1}}+{{4}^{1-x}}-\left( m+1 \right)\left( {{2}^{2+x}}-{{2}^{2-x}} \right)+8m-16=0\left( 1 \right)$
$\Leftrightarrow 4\left( {{4}^{x}}+{{4}^{-x}} \right)-4\left( m+1 \right)\left( {{2}^{x}}-{{2}^{-x}} \right)+8m-16=0$
$\Leftrightarrow \left( {{4}^{x}}+{{4}^{-x}} \right)-\left( m+1 \right)\left( {{2}^{x}}-{{2}^{-x}} \right)+2m-4=0(2)$
Đặt $t={{2}^{x}}-{{2}^{-x}}$
Ta có ${t}'={{2}^{x}}\ln 2+{{2}^{-x}}\ln 2>0;\forall x$ nên hàm $t={{2}^{x}}-{{2}^{-x}}$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$
Vậy với $x\in \left[ 0;1 \right]$ thì $t\in \left[ 0;\dfrac{3}{2} \right]$.
Khi đó phương trình $\left( 2 \right)\Leftrightarrow {{t}^{2}}-\left( m+1 \right)t+2m-2=0$
$\Leftrightarrow \left( t-2 \right)\left( t-m+1 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=2 \\
& t=m-1 \\
\end{aligned} \right.$
Để phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ khi và chỉ khi phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm trên đoạn $\left[ 0;\dfrac{3}{2} \right]$ khi và chỉ khi $0\le m-1\le \dfrac{3}{2}\Leftrightarrow 1\le m\le \dfrac{5}{2}$.
$\Leftrightarrow 4\left( {{4}^{x}}+{{4}^{-x}} \right)-4\left( m+1 \right)\left( {{2}^{x}}-{{2}^{-x}} \right)+8m-16=0$
$\Leftrightarrow \left( {{4}^{x}}+{{4}^{-x}} \right)-\left( m+1 \right)\left( {{2}^{x}}-{{2}^{-x}} \right)+2m-4=0(2)$
Đặt $t={{2}^{x}}-{{2}^{-x}}$
Ta có ${t}'={{2}^{x}}\ln 2+{{2}^{-x}}\ln 2>0;\forall x$ nên hàm $t={{2}^{x}}-{{2}^{-x}}$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$
Vậy với $x\in \left[ 0;1 \right]$ thì $t\in \left[ 0;\dfrac{3}{2} \right]$.
Khi đó phương trình $\left( 2 \right)\Leftrightarrow {{t}^{2}}-\left( m+1 \right)t+2m-2=0$
$\Leftrightarrow \left( t-2 \right)\left( t-m+1 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=2 \\
& t=m-1 \\
\end{aligned} \right.$
Để phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ khi và chỉ khi phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm trên đoạn $\left[ 0;\dfrac{3}{2} \right]$ khi và chỉ khi $0\le m-1\le \dfrac{3}{2}\Leftrightarrow 1\le m\le \dfrac{5}{2}$.
Đáp án D.